13-amaliy mashg‘ulot: Operatorlarning spektri va rezolventasiga oid masalalar

Yechish. a) operatorning xos qiymatlarini topish uchun songa mos yoki
(10)
tenglamani yechamiz. (23.29) tenglama quyidagi tenglamalar sistemaga teng kuchli:
(11)
Agar bo‘lsa, (10) tenglik bajarilishi uchun bo‘lishi kerak. U holda (11) tenglamalar sistemasi

tenglamalar sistemasiga keladi. Bu tenglamalar sistemasi nolmas yechimga ega bo‘lishi uchun yoki
(12)
tenglik bajarilishi kerak. (12) tenglama ildizlarga ega. Bu yerdan kelib chiqadiki, (10) tenglama songa mos nolmas
(13)
yechimga va soniga mos nolmas
(14)
yechimga ega. Shunday qilib, sonlari operatorning xos qiymatlari bo‘ladi va (13) va (14) ko‘rinishdagi va elementlar operatorning va ga mos xos vektorlari bo‘ladi. Agar bo‘lsa nolmas element tenglikni qanoatlantiradi, ya’ni 1 soni operatorning cheksiz karrali xos qiymati va ko‘rinishdagi elementlar unga mos xos vektorlar bo‘ladi. Xuddi shunday ko‘rsatish mumkinki, sonlar ham operatorning xos qiymatlari bo‘ladi va , lar esa ularga mos xos vektorlar bo‘ladi. Shunday qilib, operator xos qiymatlarga ega va boshqa xos qiymatlari yo‘q. xos qiymatlar operatorning
oddiy xos qiymatlari bo‘ladi.
b) Endi holni qaraymiz. Ta’rifga ko‘ra, operatorning nuqtadagi rezolventasi operatorining teskarisi sifatida aniqlanadi. , ya’ni
(15)
tenglikdan ni topamiz. Buning uchun

tenglamalar sistemasini yechib

munosabatlarni olamiz, ya’ni (15) tenglama

yagona yechimga ega. Shunday qilib, operatorning rezolventasi quyidagi formula bilan aniqlanadi:

Ko‘rinib turibdiki, agar bo‘lsa, . Banax teoremasiga ko‘ra chegaralangan operator bo‘ladi. Shunday qilib, barcha lar, operator uchun regulyar qiymat bo‘ladi. Bundan tenglik kelib chiqadi.
Quyidagi keltirilgan mashqlar normalangan fazolardagi chiziqli chegaralangan operatorlarning xos qiymatlari, xos vektorlari, rezolventasi va spektrini o‘rganishga mo‘ljallangan.
Quyidagi operatorlarning xos qiymatlari va xos vektorlarini toping.

5. 
   , .
   
6. 
   , .
   
7. 
   , .
   
8. 
   , .
   
9. 
   _, .
   
10. 
    , .
    
11. 
    , .
    
12. 
    , .
    
13. 
    , .
    
14. 
    , .
    
15. 
    , .
    
16. 
    , .
    
17. 
    , .
    
18. 
    , .
    
19. 
    , .
    
20. 
    , .
    
21. 
    , .
    
22. 
    , .
    
23. 
    , .
    
24. 
    , .