13-amaliy mashg‘ulot: Operatorlarning spektri va rezolventasiga oid masalalar

Laboratoriya ishlari uchun topshiriqlar. Quyida berilgan
operatorlarning spektri va rezolventasini toping.

25. 
    , .
    
26. 
    , .
    
27. 
    , .
    
28. 
    , .
    
29. 
    , .
    
30. 
    , .
    
31. 
    , .
    
32. 
    , .
    
33. 
    , .
    
34. 
    , .
    
35. 
    , .
    
36. 
    , .
    
37. 
    , .
    
38. 
    , .
    
39. 
    , .
    
40. 
    , .
    
41. 
    , .
    
42. 
    , .
    
43. 
    , .
    
44. 
    , .
    
45. 
    Faraz qilaylik chiziqli operator va mavjud bo‘lsin. va operatorlar bir xil xos vektorlarga ega. Isbotlang.
    
46. 
    Faraz qilaylik va ning xos vektori mavjud bo‘lsin, u holda ham xos vektorga ega. Isbotlang.
    
47. 
    va lar o‘rin almashinuvchi operatorlardir. Isbotlang.
    
48. 
    Faraz qilaylik bo‘lsin, u holda Hilbert ayniyati ni isbotlang.
    
49. 
    Faraz qilaylik bo‘lsin. tenglikni isbotlang.
    
50. 
    Faraz qilaylik bo‘lsin. Biror uchun to‘la uzluksiz (kompakt) bo‘lishi mumkinmi?
    
51. 
    fazoni o‘zini-o‘ziga akslantiruvchi operatorni qaraymiz. tenglikni isbotlang.
    
52. 
    fazoni o‘zini-o‘ziga akslantiruvchi operatorni qaraymiz. va larni toping.
    
53. 
    to‘plam Hilbert fazosining qism fazosi, esa ga ortogonal proyeksiyalash operatori bo‘lsin. operatorning spektrini toping, ni orqali ifodalang.
    
54. 
    Hilbert fazosi, undagi ixtiyoriy ortonormal bazis bo‘lsin. operatorni quyidagicha aniqlaymiz:
    

.
a) munosabatni isbotlang;
b) operatorni toping;
c) tenglikni isbotlang;
d) to‘plamning ixtiyoriy nuqtasi operatorning xos qiymati ekanligini isbotlang;
e) tenglikni isbotlang;
f) operatorning xos qiymatlari yo‘q ekanligini isbotlang.

55. 
    fazoda differensiallash operatorini qaraymiz. Quyidagilarni isbotlang.
    

a) agar bo‘lsa, bo‘sh to‘plam.
b) agar bo‘lsa, u holda tenglik o‘rinli hamda istalgan kompleks son operatorning xos qiymati bo‘ladi.
c) agar bo‘lsa, u holda faqat ko‘rinishdagi xos qiymatlardan iborat.

56. 
    Faraz qilaylik bo‘lsin. va to‘plamlarning noldan farqli elementlari bir xil ekanligini isbotlang.
    
57. 
    Faraz qilaylik bo‘lsin. soni operatorning xos qiymati bo‘lishi uchun shunday ketma-ketlik mavjud bo‘lib, munosabatning bajarilishi zarur va yetarli. Isbotlang.
    
58. 
    Faraz qilaylik bo‘lsin. Istalgan uchun ekanligini isbotlang.
    
59. 
    Faraz qilaylik uchun uzluksiz teskari operator mavjud bo‘lsin. bo‘lishi uchun bo‘lishi zarur va yetarli. Isbotlang.