13-ma’ruza. Funksiyaning differensiali. Yuqori tartibli hosilalar. Ikkinchi tartibli hosilaning fizik ma’nosi. Parametrik va oshkormas ko’rinishda berilgan funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasi. Yuqori tartibli differensial

Yig‘indi va ko‘paytmaning yuqori tartibli hosilalari 
1-Teorema. Agar 
va funksiyalar nuqtada tartibli hosilaga ega bo‘lsa, u 
holda 
va funksiyalar ham bu nuqtada tartibli hosilaga ega 
va 
(11) 
( )
∑
(12) 
tengliklar o‘rinli bo‘ladi, bu yerda
orqali elementni tadan 
qilib guruhlashlar soni belgilangan. (12) formula Leybnis formulasi deb ataladi. 
5-Misol. Leybnis formulasidan foydalanib 
funksiyaning 
hosilasini 
toping. 
►
( 
⏟
⏟
)
 ◄ 
Parametrik va oshkormas ko‘rinishda berilgan funksiyalarning yuqori tartibli 
hosilalari 
funksiya
{
parametrik tenglamalar bilan berilgan bo‘lsin va , funksiyalar barcha
nuqtalarda yetarli tartibda differensiallanuvchi va
bo‘lsin. U holda 
parametrik ko’rinishda berilgan funksiyaning hosilasi formulasiga ko‘ra, ixtiyoriy 
nuqtada
hosila 

---

{
tenglik bilan topiladi. Bu yangi parametrik shaklda berilgan funksiyani oldingi qoidani 
qo‘llab yana bo‘yicha differensiallash mumkin: 
{
{
Xususiy holda, ikkinchi tartibli hosilani keltirib chiqaramiz: bo‘linmaning, teskari 
funksiyaning hosilalari formulalarini qo‘llab 
(
)
(
)
(
)
Shunday qilib parametrik shaklda berilgan funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasi 
{
(13) 
ko‘rinishda bo‘lar ekan. 
6-Misol. 
funksiya 
{
* 
+ 
munosabatlar bilan parametrik shaklda berilgan bo‘lsa, uning ikkinchi tartibli hosilasini 
toping. 
► va funksiyalarning parametr bo‘yicha birinchi va ikkinchi tartibli 
hosilalarini topamiz: 
,
,
, 
bu topilgan hosilalarni (5.60) formulaga qo‘yib,
ikkinchi tartibli 
hosilani topamiz. 
natijada
{
* 
+ 
izlanayotgan hosilani topdik. ◄