13-маъруза. Мавзу: балканинг эгилишдаги деформацияларини аниқлаш

III. Эластик чизиқнинг дифференциал тенгламасини интеграллаш.

Балка кўндаланг кесимининг салқилик ва айланиш бурчакларининг аналитик ифодасини келтириб чиқариш учун (9.4) дифференциал тенгламани интеграллаш лозимдир. Уни бир марта интеграллаб балканинг ихтиёрий кўндаланг кесимининг айланиш бурчагини топиш формуласини ҳосил қиламиз:

(9.5)
Уни иккинчи марта интеграллаб ихтиёрий кесимнинг салқилигини аниқлаш формуласини оламиз:
(9.6)
(9.5) ва (9.6) ифодалардаги интеграллашдан ҳосил бўлган ихтиёрий ўзгармас ва сонларини балка учларининг маҳкамланиш усулига боғлиқ бўлган чегаравий шартларидан фойдаланиб топамиз.
Энг оддий иккита типдаги статик аниқ балкаларни текширамиз. Улар бир учи билан қистириб маҳкамланган консол ва икки учи шар-

9.5-шакл
нирлар воситаси билан бириктирилган оддий балкалардир. Бу икки ҳол учун балкага қўйилган кучлар қандай бўлишидан қатъий назар, ва ларни аниқлашнинг иккита шартини оламиз. Бир учи билан қистириб маҳкамланган консол учун (9.5-шакл) унинг чап учида салқилиги, шунингдек, шу кесимнинг нейтрал ўққа нисбатан айланиш бурчаги нолга тенг бўлганлигидан интеграллашдан ҳосил бўлган ихтиёрий ўзгармас ва ни аниқлаш учун қуйидаги чегаравий шартларга эга бўламиз:
бўлганда
бўлганда (9.7)
Икки таянчда ётган оддий балка учун (9.6-шакл) чап ва ўнг таянчлардаги салқиликлар нолга тенг бўлиб, қуйидаги чегаравий шартларга эга бўламиз:
бўлганда
бўлганда ҳам (9.8)
Балка учларининг маҳкамланиш шартларидан, яъни (9.7) ёки (9.8) дан С ва D ни аниқлаб, уларнинг қийматларини (9.5) ва (9.6) га қўйиб, ечилаётган масаланинг барча шартларини қаноатлантирувчи эластик чизиқ тенгламасини оламиз.
Агар балкага қўйилган ташқи кучлар уни бир неча участкага бўлса, у ҳолда балканинг таянчларга маҳкамланиш шарти интеграллашдан ҳосил бўладиган ихтиёрий ўзгармас С ва D ларга ўхшаш сонларни аниқлаш учун етарли бўлмайди. Масалан, 9.7-шаклда кўрсатилган оддий балка қўйилган Р куч таъсирида икки участкага бўлинади ва унинг салқилиги, кесимнинг айланиш бурчаги тенгламаларини келтириб чиқариш учун битта участкага хос иккита дифференциал тенглама тузилади ва уларни интеграллаш натижасида С ва D га ўхшаш тўртта ихтиёрий ўзгармас сонлар пайдо бўлади.
Буларни топиш учун тўртта чегаравий шартлар бўлиши лозим, иккита шарт балканинг маҳкамланиш шарти, яъни (9.8) дан олинса, қолган иккита шарт участкаларни ажратувчи С нуқтадаги эластик чизиқнинг қўшилиш шартидан олинади (9.7-шакл).
бўлганда бўлганда (9.9)
Бу чегаравий шартлари тўртта ихтиёрий ўзгармас сонлар қатнашган тўртта алгебраик тенгламалар системасини беради ва уларни биргаликда ечиб, барча ихтиёрий ўзгармасларни аниқлаб, ҳар қайси участка учун тегишли эластик чизиқнинг тенгламасини ҳосил қиламиз.



9.6-шакл

9.7-шакл

Кўндланг кесими тўғри тўртбурчакдан иборат бўлган ёғоч консол эркин учининг айланиш бурчаги ва салқилиги бевосита интеграллаш усули билан аниқлансин (9.8-шакл).
Ечиш: Таянч реакциялари: бўлади. Координата бошини шаклда кўрсатилгандек жойлаштириб эгилган ўқнинг дифференциал тенгламасидан фойдаланиб тузамиз:

Координата бошидан х масофада кесим олиб, унга нисбатан эгувчи момент тенгламасини тузамиз:
.
У ҳолда эгилган ўқнинг дифференциал тенгламаси қуйидагича бўлади:

Бу тенгламани икки марта интеграллаб ихтиерий кесимнинг айланиш бурчаги ва салқилигини топиш тенгламаларини ҳосил қиламиз:
(1)
(2)
(9.7) чегара шартидан фойдаланиб, С ва D ўзгармас сонларни топамиз:
бўлганда бўлади, (1) дан С=0,
бўлади, (2) дан D=0 ларни топамиз.
Бу қийматларни (1) ва (2) га қўямиз ва қуйидагига эга бўламиз:
_.

Бу тенгламаларга ни қўйиб, консолнинг эркин учининг aйланиш бурчаги ва салқилигини топамиз:

.