14-Tebranma jarayonlar Garmonik tebranishlar

Majburiy tebranishlar. Rezonans 
Bir marta boshlang’ich turtki bilan qo’zgatilgan va keyin o’z holiga 
qo’yilgan sistema, biz yuqorida ko’rganimizdek, faqat sistemaning 
xossalariga: uning massasiga, qaytaruvchi kuchiga va qarshilikka bog’liq 
bo’lgan ma’lum chastota bilan so’nuvchi tebranadi. Bunday tebranishlar erkin 
tebranishlar deb ataladi. So’nish bo’lmagandagi erkin tebranishlar xususiy 
tebranishlar, ularning chastotalari esa xususiy chastotalar deb ataladi. Masalan, 
royalning klavishlari bosganda bolg’acha uning toriga urilib, uni xususiy 
tebranishlarga keltiradi va natijada tor ovoz chiqaradi. Bu ovozni biz, juda 
zaif so’nishlarni hisobga olmagan holda, torning xususiy toni deb ataymiz. 
Biroq qator hollarda ahvol butunlay boshqacha bo’ladi: sistema davriy 
ravishda ish bajarib, energiyaning ishqalish va nurlanish natijasida 
kamayishini to’ldirib turuvchi qandaydir t a s h q i kuch ta’siri ostida 
tebranadi. Bunda tebranishning chastotasi sistemaning xossasiga emas, balki 
ta’sir etib sistemani tebrantirayotgan kuchning o’zgarish chastotasiga bog’liq 
bo’ladi. Bu holda biz endi erkin emas, balki majburiy tebranishlarni, 
sistemaning tashqi kuchlar ta’siri ostida tebranishini uchratamiz.
Sistemaga qo’yilgan tashi davriy kuch ikki xil vazifani bajaradi: u, bir 
tomondan, sistemani tebratib, unga ma’lum energiya zapasi beradi. Ikkinchi 
tomondan, bu kuch ish bajarib, sarflanayotgan energiyani to’ldirish orqali 
tebranma harakatni quvvatlab turadi. 
Tashqi kuch tomonidan boshqariluvchi sistema tashqi kuch qanday 
chastota bilan ta’sir qilayotgan bo’lsa, shu chastota bilan tebranadi. Lekin 
bundan tashqaridan belgilanib qo’yilgan chastotali majburiy tebranishlar 
birdaniga turg’unlashmaydi. Boshlang’ich momentda sistema, sistemani 

---

majburiy tebranishdan tashqari yana erkin tebranishga ma jbur qiluvchi turtki 
oladi.
Shunday qilib, sistema hech bo’lmaganda boshlangich bosqichlarda 
erkin tebranishda bo’lib, uning ustiga majburiy tebranishlar qo’shilib ketadi. 
Agar so’nish ko’paytuvchisi katta bo’lmasa, u xolda erkin tebranishning 
chastotasi (8) formulaga asosan hisoblanishi mumkin:

= √
c
m
va e r k i n tebranishlar tenglamasi 
x
1
=a
0
e
αt
sin 

0
t 
ko’rinishga ega bo’ladi. 
Kuchning o’zgarish chastotasi ω sistemaning xususiy chastotasi ω
0
ga 
teng bo’lsin, shu bilan birga vaqtning qandaydir bir momentida kuch 
siljishdan rosa chorak davrga o’zib ketgan bo’lsin. Bizning muloxazamizni 
aniqlash uchun tebranma harakat gorizontal chiziq bo’ylab sodir bo’ladi va 
vaqtning tekshirilayotgan momentida tebranuvchi massa chap tomondagi 
chetki holatda turibdi deb faraz qilaylik. Agar kuch siljishdan chorak davrga 
ilgariroq o’zgarayotgan bo’lsa, u holda shu momentda u noldan o’tgan bo’lib 
o’ngga qarab ta’sir qiladi va massasini turg’un holat tomonga qarab tortib, 
qaytaruvchi kuch yordamida beradi. Massa nol holatdan o’tayotganda tashqi 
kuch maksimumga erishadi va keyin o’z yo’nalishini saqlagan holda kattalik 
jihatdan kamaya boshlaydi. Massa o’sha chetki holatga yetganda kuch yana 
nolga aylanadi, keyin esa qaytaruvchi kuchga yordam berib, massani orqaga 
torta boshlaydi. ω va ω
0
o’zaro teng bo’lganligi uchun chorak davrga o’zish 
bir marta qaror topgach keyin ham qolaveradi, demak, tekshirilayotganda 
tashqi kuch doim musbat ish bajaradi.
Bu holda sistemaga eng ko’p energiya beriladi. Shunday ekan, 
tebranishlar amplitudasi o’zining berilgan sharoitda mumkin bo’lgan eng 
katta qiymatiga erishadi. Bu hodisa rezonans deyiladi. Rezonans lotincha 

---

resone - sado beraman degan ma’noni anglatadi. Rezonans ro’y berishi uchun 
xususiy va majburiy tebranishlar chastotalari mos kelishi shart.
Agar ω va ω
0
chastotalar teng bo’lmasa, u holda majburiy tebranishlar 
davrining qandaydir bir qismida kuchning ishi manfiy bo’ladi. Demak, 
sistema kamroq energiya bilan ta’minlanadi va mos ravishda tebranishlar 
amplitudasi kamayadi. Bunday sharoitda kuch siljishdan to’rtdan bir davrga 
emas, balki kuch o’z davrining biridan yo katta, yoki kichik bo’lgan boshqa 
bir davrga o’zadi. Albatta, xususiy va majburiy tebranish chastotala ri 
orasidagi munosabat qanday bo’lmasin, amplitudaning ortib borishi 
chegaralangandir, chunki u ortishi bilan tebranma harakat tezligi ham ortadi.
Tezlik ortishi bilan qarshilik R ham kuchaya boradi va, demak, 
amplituda ortgan sari tebranuvchi sistema energiyani intensivroq sarflaydi. 
Shunday qilib, amplituda har gal mutlaqo avtomatik ravishda shunday 
qiymatga erishadiki, bunda olinayotgan energiya ishqalish va nurlanishga 
sarflanayotgan energiyani to’liq qoplaydi. 
Majburiy tebranishlar amplitudasini matematik yo’l bilan aniqlash 
mumkin. Soddaluk uchun avval so’nish yo’q (α=0) deb faraz qilamiz. U holda 
sistemaga ikkita: F=-kx qaytaruvchi kuch bilan P=P
0
sinω
0
t tashqi kuch ta’sir 
qiladi. Bu kuchlarning yig’indisini tebranuvchi massaning uning tezlanish iga, 
ya’ni (1.19) funksiyani ikki marta differensiallashdan kelib chiqadigan –ω
2
kattalikka ko’paytmasiga tenglasak, quyidagi tenglamani olamiz:
-m ω
2
x=P
0
sin ωt- kx,
bundan
mx =
P
0
k − mω
2
sinωt 
yoki surat va maxrajni m ga bo’lsak: 
x =
P
0
m
ω
0
2
− ω
2
sin ωt (14.52) 
(14.52) ifoda majburiy tebranishlar amplitudasi

---

A =
P
0
m
ω
0
2
− ω
2
(14.53) 
xususiy va majburiy chastotalar farqiga bog’liq ekanligini ko’rsatadi. Agar 
ω ω
0 
ga yaqinlashib borsa, amplituda cheksiz o’sib boradi, chunki so’nish 
bo’lmaganda rezonanas (ω= ω
0 
) sharoitida sistemaning energiyasi uzluksiz 
ravishda ortadi. Amplituda amalda cheksiz orta olmaydi, chunki doim har 
qanday real tebranuvchi sistema qandaydir darajada so’nishga ega bo’ladi. 
Tezlikka proporsional bo’lgan so’nishni hisobga olgan holda bajarilgan 
yuqoridagiga o’xshash hisoblash, majburiy tebranishlar amplitudasi uchun 
quyidagi ifodani beradi: 
𝐴 =
𝑃
0
𝑚
√(𝜔
0
2
− 𝜔
2
)
2
+ 4𝛼
2
𝜔
2
(14.54) 
Rezonans sharoitida majburiy tebranishlar amplitudasi eng katta 
qiymatga erishadi. Demak, rezonans majbur qiluvchi kuch tebranishlarining 
(14.54) formulaning maxrajiga minimal qiymat beradigan (ω=ω
rez
) 
chastotasida yuz beradi. Ana shu rezonans chastotani hisoblash uchun ( 14.54) 
ifodaning maxrajida turgan ildiz ostidagi ifodadan olingan hosilani nolga 
tenglashtiramiz: 
2(𝜔
2
− 𝜔
𝑟𝑒𝑧
2
)
2
∗ 2𝜔
𝑟𝑒𝑧
+ 8𝛼
2
𝜔
𝑟𝑒𝑧
= 0 
yoki 
(𝜔
0
2
− 𝜔
𝑟𝑒𝑧
2
) + 2𝛼
2
= 0, 
bundan 
𝜔
𝑟𝑒𝑧
= √𝜔
0
2
− 2𝛼
2
(14.55) 
Xolbuki erkin tebranishlar chastotasi (14.50) va (14.51) formulalarga binoan: 
𝜔
𝑒𝑟𝑘𝑖𝑛
= √𝜔
0
2
− 𝛼
2
. 
Shunday qilib, so’nish mavjud bo’lgan vaqtda rezonans majburiy 
tebranishlarning xususiy va erkin tebranishlarning chastotasidan kichikroq 
chastotasida yuz berar ekan. So’nish qancha kichik bo’lsa, bu uchala chastota 

---

orasidagi farq shuncha kichik bo’ladi. Rezonans Amplitudasini aniqlash 
uchun rezonans chastotaning (14.55) formuladagi qiymatini (14.54) 
formulaga qo’yamiz:
A
rez
=
P0
m
2αω
erkin
(14.56) 
Quyidagi 14.16 – rasmda majburiy tebranishlar amplitudasi majburiy va 
xususiy chastotalarning nisbatiga qanday bog’langanligi ko’rinib turibdi, bu 
rasmdagi turli egri chiziqlar so’nish ko’paytuvchisi (α) turli qiymatlariga 
tegishli. Ko’rinib turibdiki, so’nish qancha zaif bo’lsa, rezonansga 
yaqinlashgan sari amplituda shuncha ko’p orta boradi. 
14.16- rasm. Majburiy tebranishlar amplitudasining chastota va so’nishga 
bog’lanishi 
Qator hollarda rezonans amplituda haddan tashqari ortib ketishi tufayli 
tebranuvchi sistemani yemirilishiga olib keladigan darajada xavf tug’dirishi 
mumkin. 
Majburiy tebranishlar uchun yuqoridagi dasturdan foydalanish 
mumkin, faqat “Call Eyler…” satrini quyidagicha o’zgartiramiz: 
1 Call Eyler_Majburiy(x, v, w2, dt, g, ncalc) 
“Sub Eyler…” protsedurasini esa quyidagicha o’zgartiramiz: 
Sub Eyler_Majburiy(x, v, w2, dt, g, ncalc)
For icalc = 1 To ncalc 

---

w = -w2 * x - g * v + fun(t) ‘tezlanish 
v = v + w * dt ‘tezlik 
x = x + v * dt ‘koordinata 
Next icalc 
End Sub 
Function fun(t) 
fun = 2 * Sin(Val(wt) * t) ‘Tashqi kuchni hisoblash 
End Function 
Ko’rib o’tilgan uchala jarayonlarni, ya’ni garmonik, so’nuvchi va majburiy 
tebranishlarni birdaniga tasvirlash uchun dastur tuzildi. Dastur ishga tushirilganda 
ekran quyidagiga ko’rininshni oladi: 
 
14.17-rasm. Tebranma jarayonlarga oid dastur 
Dastur boshlang’ch koordinata, boshlang’ich tezlik va tashqi kuch 
chastotasini kiritish uchun hamda hisoblangan tebranish davri, koordinata va tezlik 
amplitudalari, to’la energiyalarni namoyish qilish uchun oynachalar, koordinata va 
tezlikning vaqtga bog’lanish garfigi hamda fazaviy trayektoriyani namoyish qilish 
oylaridan, shuningdek, “Garmonik tebranishlar”, “So’nuvchik tebranishlar” va 
“Majburiy tebranishlar” tugmalaridan tashkil topgan. 

---

Agar “Garmonik tebranishlar” tugmasi bosilsa, ekran quyidagi ko’rinishni 
oladi: