14-Tebranma jarayonlar Garmonik tebranishlar

14.5. Matematik mayatnik 
Tebranuvchi sistemalarga eng sodda misol sifatida matematik mayatnikni 
keltiish mumkin. Matematik mayatnik deb yuqori uchi erkin aylana oladigan, pastki 
uchiga m massali yukcha osilgan L uzunlikdagi ovaznsiz sterjendan iborat sistemaga 
aytiladi. Agar yukcha muvozanat vaziyatidan chiqarib, qo’yib yuborilsa, sitema 
vertikal tekislikda erkin tebranadi. 
Yukchaning harakati markazi O nuqtada, radiusi L bo’lgan aylana yoyi 
bo’yicha bo’layotganligi uchun yoydagi tezligi va tezlanishi 
𝑣 = L
d

dt
(14.57) 

---

𝑣 = L
𝑑
2

𝑑𝑡
2
(14.58) 
qonuniyatlarga bo’ysunadi.
14.21-rasm. Matematik mayatnik 
Yukchaga og’irlik kuchi va sterjan toonida reaksiya kuchi ta’sir qiladi. Rasmdan va 
Nyutonning II qonuniga asosan


sin
2
2
mg
dt
d
mL


(14.59) 


sin
2
2
L
g
dt
d


(14.60) 
Bu tenglama nochiziqli differensial tenlama bo’lib, analitik yechimi mavjud emas. 
Lekin qator hollarda, burchak juda kichik bo’lganda 

sin(

) bo’lganligi uchun 
yuqorida tenglama chiziqli tenglamaga aylanadi: 


L
g
dt
d


2
2
(14.61) 
Bu tenglama avvalgi punktlarda ko’rib o’tilgan tenglama bilan bir xil, ya\ni 
bir xil qonuniyatga bo’ysunadi. Bu tenglamani yuqoridagi tenglamalar bilan 
taqqoslab mayatnikning tebranish davri uchun
g
L
T

2

(14.62) 
ifodani olamiz. Demak, matematik mayanikning tebranish davri faqat sterjenning 
uzunligiga bo’liq. Matematik mayanikning potensial energiyasi 
)
cos
1
(




mgL
mgh
E
p
(14.63) 
formula orqali aniqlanadi. Matematik mayanikning kinetik energiyasi 

---

2
)
/
(
2
2
2
dt
Ld
m
mv
E
k



(14.64) 
bo’lganligi uchun to’la energiya 
)
cos
1
(
2
)
/
(
2





mgL
dt
Ld
m
E
(14.65) 
formula orqali aniqlanadi. 
Matematik mayatnikning tebranishini modellashtirish uchun dastur tuzildi. 
Dastur kodi avvalgi punktlarda ko’rib o’tilgan dastur bilan bir xil. Dastur ishga 
tushirilganda ekran quyidagi ko’rinishni oladi: 
14.22-rasm. Matematik mayatnikni o’rganishga oid dastur 
Dastur mayatnikning uzunligi (L), boshlang’ich og’ishi (

o
), boshlang’ich 
tezligi va tebranishlar soni (N) ni kiritish hamda tebranish davri, maksimal og’ishi, 
maksimal tezlik va to’la energiyaning hisoblash natijalarini ko’rish oynachalaridan, 

---

matematik mayatnink tebranishini animatsion kuzatish oynasi, garmonik yoki 
so’nuvchi tebranishlarni tanlash tugmalaridan tashkil topgan. 
Agar L=30, 

o
=20, v
o
=0, N=5 larni kiritib, garmonik tebranishlar tugmasi 
bosilsa, mayatnikning tebranishlari kuzatiladi va quyidagi natijalar olinadi:
14.23-rasm. Matematik mayatnikni o’rganishga oid dastur 
Mustaqil yechish uchun masalalar: 
1. Dasturni ishga tushirib, mayatnikning uzunligi, boshlang’ich ogi’shi va 
boshlang’ich tezlikning turli qiymatlari uchun mayatnik tebranishini kuzating 
hamda tebranish davri va to’la energiya qanday o’zgarishini aniqlang. 
2. Dasturni ishga tushirib, siklik chastotaning turli qiymatlarida to’la energiya 
qanday o’zgarishini aniqlang. 

---

3. Dasturni ishga tushirib, mayatnikning boshlang’ich ogi’shi katta bo’lganda 
tebranish davri va to’la energiya qanday o’zgarishini aniqlang. 
4. Dasturni ishga tushirib, mayatnikning uzunligi, boshlang’ich ogi’shi va 
boshlang’ich tezlikning turli qiymatlari uchun mayatnik tebranishini kuzating 
hamda tebranish 

(t), v(t) grafiklarini chizing. 
5. Dasturni ishga tushirib, mayatnikning uzunligi, boshlang’ich ogi’shi va 
boshlang’ich tezlikning turli qiymatlari uchun mayatnik tebranishini kuzating 
hamda fazaviy portretni chizing.