§14. Внутренняя доходность облигации

4-Ta'rif. t = 0 momentdan boshlab hisoblangan yillar uchun investitsiyalar uchun yillik risksiz foiz stavkalari toʻplami, bu yerda , muddat deyiladi. foiz stavkalarining tuzilishi. Shunday qilib, agar foiz stavkalarining muddatli tuzilishi ma'lum bo'lsa, u holda kredit riskiga ega bo'lmagan obligatsiyaning qiymati (7.3) formuladan foydalanib hisoblanishi mumkin.
5-Ta'rif. r = r(t) funktsiya grafigi, r(t) bunda t yil davomida investitsiyalar uchun yillik risksiz foiz stavkasi, rentabellik egri chizig'i (yoki spot-stavka egri chizig'i) deb ataladi. Haqiqiy bozor sharoitida har doim faqat chegirmali obligatsiyalarning cheklangan to'plami mavjud (masalan, bir yildan ortiq muddatga nol kuponli AQSh g'aznachilik obligatsiyalari mavjud emas). Shuning uchun rentabellik egri chizig'ini faqat bozordagi kuzatuvlar asosida qurish mumkin emas. Shu munosabat bilan nazariy rentabellik egri chizig'i tuziladi. Buning uchun real hayotdagi sof chegirmali obligatsiyalarning rentabelligidan foydalanib, turli investitsiya davrlari uchun rentabellikning nazariy qiymatlarini hisoblang. Nazariy daromad olishning bir necha usullari mavjud. Ulardan biri "bootstrapp protsedurasi" deb ataladi. Keling, ushbu usulni misol bilan ko'rib chiqaylik.
2-Misol. Bozorda A, B, C, D, E davlat obligatsiyalari mavjud bo'lib, ularning to'lov oqimlari va hozirgi vaqtda t = 0 narxlari jadvalda ko'rsatilgan:

	Muddat yilllarda					P
	0,5	1	1,5	2	2,5
A	108					105,27
B		121				113,83
C	10	11	109			118,71
D	11	11	11	120		135,64
E	8	8	8	8	108	118,84

A va B sof chegirmali obligatsiyalardir. Ularning ichki daromadlari (7.2) formula bo'yicha aniqlangan r(0,5) = 5,25% va r (1) = 6,3% 0,5 yil va 1 yil uchun investitsiyalar uchun risksiz foiz stavkalari. Ushbu ikki stavkani bilib, C obligatsiyasi yordamida 1,5 yillik investitsiya uchun nazariy risksiz foiz stavkasini hisoblash mumkin. (7.3) formula bo'yicha C obligatsiyasining narxiga teng
118,71 =
Bu yerda r (0,5) = 0,0525, r (1) = 0,063. Keyin
118,71 =
1,5 yil davomida investitsiyalar uchun nazariy yillik risksiz foiz stavkasini qayerdan olamiz: r (1,5) = 6,9%. Bu stavka, agar bunday qimmatli qog'ozlar mavjud bo'lsa, bozor 1,5 yillik sof chegirmali obligatsiyalar uchun taklif qiladigan stavkadir.
Nazariy 1,5 yillik risksiz foiz stavkasini bilgan holda, D obligatsiyasi yordamida nazariy ikki yillik risksiz foiz stavkasini hisoblashingiz mumkin:
135,64 =
Bu yerdan r(2) = 7,1% nazariy ikki yillik risksiz foiz stavkasi. E obligatsiyasi uchun tavsiflangan protsedurani yana bir bor qo'llagan holda, biz nazariy 2,5 yillik risksiz foiz stavkasini aniqlaymiz: r (2,5) = 7,9%.
Bunday jarayon yordamida tuzilgan risksiz foiz stavkalari r(0,5), r(1), r(1,5), r(2), r(2,5) foiz stavkalarining muddatli tuzilmasini 2,5 - yozgi diapazonga nisbatan belgilaydi. obligatsiyalar bahosi tegishli bo'lgan vaqt nuqtasi.
Foiz stavkalarining muddatli tuzilishini bilib, biz rentabellik egri chizig'ini qurishimiz mumkin. Egri chiziqni qurish usullaridan biri chiziqli interpolyatsiyadir.
i = 1, 2, …, n – 1. (7.4)
Chiziqli interpolyatsiya yordamida 2-misol uchun rentabellik egri chizig'i quyida berilgan

Daromad egri chizig'idan foydalanib, dan yilgacha bo'lgan har qanday davr uchun investitsiyalar uchun risksiz foiz stavkasining taxminiy qiymatini aniqlashingiz mumkin. Masalan, 1,25 [1;1,5] dan boshlab, keyin

r(1,25) r(1) = 0,066.
Daromad egri chizig'ini qurishning yana bir usuli - (n - 1) - tartibli interpolyatsiya:
r(t)
+ (7.5)
…………………..
,
,
……………….. (7.6)
,
r(t_n) = r,
qaysiki, t_{k + 1}, t_{k + 2}, …, t_{n – 1} [t_k, t_n].
t = 0 vaqtdagi P bog'lanish narxi ma'lum bo'lgani uchun, u holda

(7.7)
Bu ifodaga r(t_{k + 1}), r(t_{k + 2}), …, r(t_n) oʻrniga (7.6) tengliklarni qoʻyib, bitta nomaʼlum r boʻlgan tenglamaga erishamiz. Bu tenglamaning yechimi chiziqli interpolyatsiya usuli bilan topiladi. r ni bilib, (7.6) formulalar yordamida risksiz foiz stavkalarini r(t_{k + 1}), r(t_{k + 2}), …, r(t_n) topamiz. Shunday qilib, biz t_n – uchun r(t₁), r(t₂), …, r(t_k), r(t_k+1),…, r(t_n) foiz stavkalarining vaqt strukturasiga egamiz – t = 0 momentga nisbatan yillik diapazon.