§14. Внутренняя доходность облигации

Пример 1. Определить годовую внутреннюю доходность r облигации, поток платежей по которой указан в таблице:

Срок, годы	0	1	2
Платеж, д.е.	-948	50	1050

Приближенное значение внутренней доходности облигации найдем методом линейной интерполяции. Согласно определению годовой внутренней доходности облигации

.
Необходимо найти решение уравнения F(r) = 0, где
F(r) = .
Так как 948 < 50 + 1050, то согласно теореме 4.1 существует единственное положительное решение этого уравнения. Так как F(0,07) = – 15,8396, F(0,08) = 1,4979, то искомая внутренняя доходность r (0,07; 0,08). По формуле (4.8) находим первое приближение
r_л1 = 0,07 + .
При этом значение функции F(r_л1) = 0,02567 > 0. Значит, решение r (0,07; 0,07914). Следующий шаг метода дает
r_л2 = 0,07 + .
Поэтому можно считать, что r 0,07913 или 7,913 % с точностью до третьего знака после запятой.
Определение. Облигация называется чисто дисконтной, если по этой облигации производится только одна выплата.
Определение. Внутренняя доходность чисто дисконтной облигации без кредитного риска, срок до погашения которой t лет, называется годовой безрисковой процентной ставкой для инвестиций на t лет. Другое название – годовая спот-ставка.
Пусть А – погашаемая сумма по чисто дисконтной облигации, t лет - срок до погашения, Р – рыночная цена облигации в момент t = 0, r(t) – внутренняя доходность облигации. Тогда согласно определению внутренней доходности облигации,
.
Отсюда
(8.2)
– годовая безрисковая процентная ставка для инвестиций на t лет.
В качестве примера чисто дисконтных облигаций, не имеющих кредитного риска, можно привести бескупонные облигации Казначейства США. Доходности казначейских бумаг служат эталоном при оценке всех видов облигаций.
Рассмотрим, как можно оценить любую облигацию, если на рынке имеются чисто дисконтные облигации. Пусть на рынке имеется облигация В без кредитного риска, по которой через t₁, t₂,…, t_n лет обещают выплатить денежные суммы С₁, С₂,…, С_n соответственно. Облигацию В можно оценить, если рассматривать ее как портфель из чисто дисконтных облигаций В₁, В₂,…, В_n со сроками погашения через t₁ , t₂,…, t_n лет соответственно. Предположим, выполняются следующие условия:
1) известны годовые безрисковые процентные ставки r(t₁), r(t₂), …, r(t_n) для инвестиций на t₁, t₂,…, t_n лет, отсчитанных от момента t = 0;
2) чисто дисконтные облигации В₁, В₂,…, В_n можно приобрести на рынке в любом количестве без трансакционных расходов. Тогда для этих облигаций имеем
,
i = 1, 2, …, n, где P_i – текущая рыночная цена одной облигации i – го вида, A_i – погашаемая сумма по этой облигации, r(t_i) - ее внутренняя доходность. Платеж С₁ от портфеля погашается облигациями В₁, платеж С₂ – облигациями В₂, и т.д., платеж С_n – облигациями В_n. Тогда в портфеле , i = 1, 2, …, n, облигаций каждого вида. Следовательно, стоимость портфеля в момент t = 0 равна
.
Тогда рыночная стоимость облигации В в момент t = 0 составляет
. (8.3)
Каждый платеж по облигации В индивидуально дисконтируется по соответствующей безрисковой процентной ставке.