15-ma`ruza 20. Кўп ўзгарувчили функциянинг дифференциал-ланувчилиги. Зарурий шарт

15-MA`RUZA


2⁰. Кўп ўзгарувчили функциянинг дифференциал-ланувчилиги. Зарурий шарт. Айтайлик, функция тўпламда берилган бўлиб,

бўлсин. Маълумки, берилган функциянинг нуқтадаги тўла орттирмаси

бўлиб, у ларга боғлиқ бўлади.
2-таъриф. Агар орттирмаларга боғлиқ бўлмаган шундай сонлари топилиб, функциянинг нуқтадаги тўлиқ орттирмаси ушбу
(1)
кўринишда ифодаланса, функция нуқтада дифферен-циалланувчи дейилади, бунда лар ларга боғлиқ ва да чексиз кичик миқдорлар.
Агар ҳамда нуқта-лар орасидаги масофа

учун, да

бўлишини эътиборга олсак, (1) муносабат ушбу
(2)
кўринишга келади.
Одатда, (1) ва (2) муносабатлар функциянинг нуқтада дифференциалланувчи шарти дейилади.
1-мисол. Ушбу

функциянинг нуқтада дифференциалланувчи бўлиши кўрсатилсин.
◄Берилган функциянинг нуқтадаги тўлиқ орттирмасини топамиз:

Агар

дейилса, унда

бўлади. Демак, берилган функция нуқтада дифференциалланувчи.►
Агар функция тўпламнинг ҳар бир нуқтасида дифференциалланувчи бўлса, функция тўпламда дифференциалланувчи дейилади.
1-теорема. Агар функция нуқтада дифференциалланувчи бўлса, у ҳолда функция шу нуқтада узлуксиз бўлади.
◄Шартга кўра функция нуқтада дифференциал-ланувчи. Демак, функциянинг шу нуқтадаги тўлиқ орттирмаси

бўлади. Бу тенгликдан

бўлишини топамиз. Демак, функция нуқтада узлуксиз.►
2-теорема. Агар функция нуқтада дифферен-циалланувчи бўлса, у ҳолда функция шу нуқтада барча хусусий ҳосилаларга эга ва

бўлади.
◄Шартга кўра функция нуқтада дифференциал-ланувчи. Бинобарин, (1) шарт бажарилади. Унда

деб олинса, қуйидаги

тенглик ҳосил бўлади. Бу тенгликдан топамиз:
.
Демак,
.
Худди шунга ўхшаш функциянинг нуқтада хусусий ҳосилаларининг мавжудлиги ҳамда

бўлиши кўрсатилади.►
Бу теоремадан нуқтада дифференциалланувчи функциянинг орттирмаси учун

бўлиши келиб чиқади.
Эслатма. функциянинг бирор нуқтада барча хусусий ҳосилалари

нинг мавжуд бўлишидан, унинг шу нуқтада дифференциалланувчи бўлиши ҳар доим келиб чиқавермайди. (бунга мисол кейинги пунктда келтирилади).
Юқорида келтирилган теорема ва эслатмадан функциянинг нуқтада барча хусусий ҳосилаларга эга бўлиш функциянинг шу нуқтада дифференциалланувчи бўлишининг зарурий шарти эканлиги келиб чиқади.
3⁰. Функция дифференциалланувчилигининг етарли шарти. Фараз қилайлик, функция тўпламда берилган бўлиб, бўлсин .
3-теорема. Агар функция да барча хусусий ҳосилаларга эга бўлиб, бу хусусий ҳосилалар нуқтада узлуксиз бўлса, функция нуқтада дифференциалланувчи бўлади.
◄Ушбу
.
нуқтани олиб, берилган функциянинг нуқтадаги тўлиқ орттирмасини қараймиз:
.
Бу орттирмани қуйидагича ёзиб оламиз:
(3)
Лагранж теоремасидан фойдаланиб топамиз:
(4)
Шартга кўра хусусий ҳосилалар нуқтада узлуксиз. Унда
(5)
бўлади. Бунда
.
Юқоридаги (3), (4) ва (5) муносабатлардан

бўлиши келиб чиқади. Демак, функция нуқтада дифференциалланувчи.►
Бу теорема функциянинг нуқтада дифферен-циалланувчи бўлишининг етарли шартини ифодалайди.