Функция хосиласи ва диференциали ҳосила. ҲОсиланинг геометрик маъноси. Функциянинг дифференциалланувчанлиги

ФУНКЦИЯ ХОСИЛАСИ ВА ДИФЕРЕНЦИАЛИ

ҲОСИЛА. ҲОСИЛАНИНГ ГЕОМЕТРИК МАЪНОСИ.
ФУНКЦИЯНИНГ ДИФФЕРЕНЦИАЛЛАНУВЧАНЛИГИ.
Узилиш нуқтасида функция ҳосилага эга эмас, функция эркли ўзгарувчининг барча қийматларида аниқланмаган ва узлуксиз бўлса ҳам, ҳаммавақт ҳосилага эга бўлавермайди.
Бирор орлиқда аниқланган
y=f(x)
функция х аргументнинг шу оралиқдаги ҳар бир қийматида y=f(x) функция маълум қийматга эга.
Аргумент х бирор (мусбат ёки манфий бари бир) х орттирма олсин, у ҳолда функция бирор у орттирмани олади.
Ш/қ аргументнинг х қийматида y=f(x) га
аргументнинг х + х қийматида функциянинг у + у = f(x + х) қийматига эга бўламиз, бу ердан
у = f(х + х) - f(x), тенгламанинг икки томонини х га бўлсак,

бўлади. Бу нисбатнинг х  0 даги лимитини топамиз. Агар бу лимит  бўлса, у берилган f(x) функциянинг ҳосиласи дейилади ва f(x) билан белгиланади.
Ш/қ

Ҳосилани кўринишда ҳам белгилайдилар.
у = х² нинг ихтиёрий х нуқтадаги ҳосиласи топилсин?
Берилган y=f(x) функциядан ҳосила топиш амали шу функцияни дифференциаллаш дейилади.


ҲОСИЛАНИНГ ГЕОМЕТРИК МАЪНОСИ.
Эгри чизиқ ва унда тайин М₀ нуқта берилган бўлсин. Эгри чизиқда М₁ нуқтани оламиз ва М₀М₁ кесувчини ўтказамиз. Агар М₁ нуқта эгри чизиқ бўйича М₀ нуқтага чексиз яқинлашаборса, у ҳолда М₀М₁, М₀М₁ ва ҳаказо турли вазиятларни олади.
Агар М₁ нуқта эгри чизиқ бўйича исталган томондан М₀ нуқтага чексиз яқинлаша бошлаганда кесувчи М₀Т тўғри чизиқ вазиятини эгаллашга интилса, у ҳолда бу тўғри чизиқ М₀ нуқтада эгри чизиққа уринма дейилади.
y=f(x) функцияни ва тўғри бурчакли координаталар системасида унга мос
y=f(x)
эгри чизиқ тўғри келади. х нинг бирор қийматида функция y=f(x) қийматга эга. Эгри чизиқда х ва у нинг бу қийматларига М₀(х,у) нуқта тўғри келади. Аргумент х га х орттирма берамиз. Аргументнинг янги х + х қийматига функциянинг у + у = f(x + х) орттирмаси тўғри келади. Эгри чизиқнинг унга мос нуқтада М₁(х + х, у + у) бўлади. М₀М₁ кесувчини ўтказамиз ва унинг 0х ўқнинг мусбат йўналиши билан ҳосил қилган бурчагини  билан белгилаймиз. У ҳолда

Агар х0, у ҳолда М₁ нуқта эгри чизиқ бўйича ҳаракат қилиб М₀ нуқтага яқинлашади. М₀М₁ кесувчи М₀ нуқта атрофида айланади. Агар х0 са  ди, у ҳолда М₀ нуқтадан ўтувчи ва абсциссалар ўқининг мусбат йўналиши билан.  бурчак ташкил қилувчи тўғри чизиқ изланган уринма бўлади.

Демак ҳосиланинг геометрик маъноси f(x) функциянинг графигига унинг М₀ нуқтасидаги уринманинг 0х ўқнинг мусбат йўналиши билан ҳосил қилган  тангенсига тенг.