Функция хосиласи ва диференциали ҳосила. ҲОсиланинг геометрик маъноси. Функциянинг дифференциалланувчанлиги

ФУНКЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛИНИНГ ТАЪРИФИ.
y=f(x) функция (a, b) оралиқда берилган бўлиб, х₀ нуқтада (х₀(a, b)) дифференциалланувчи бўлсин. Унда функциянинг х₀ нуқтадаги орттирмаси
y = f(x₀) = f(x₀)  x +   x (1)
бўлади. Бунда x0 да f(x₀)  x ва   х ларнинг ҳар бири нолга интилсада,   х ҳам f(x₀) x га қараганда тезроқ нолга интилади.
Таъриф. (1) тенгликдаги f(x₀)  x ҳад f(x) функциянинг x₀ нуқтадаги дифференциали дейилади ва dy каби белгиланади:
dy = d f(x₀) = f(x₀) x = y  x (2)
Агар у=х бўлганда dy = х x = x, dх = x бўлишини эътиборга олсак, унда функциянинг дифференциалини
dy = y  dx ёки d f(x₀) = f(x₀)dx (3)
деб ёза оламиз.


ДИФФЕРЕНЦИАЛЛАШНИНГ СОДДА ҚОИДАЛАРИ.
f(x) ва g(x) функциялар (a, b) оралиқда берилган бўлиб, х(х(a, b)) нуқтада дифференциалланувчи бўлсин. У ҳолда f(x)  g(x), f(x)  g(x) ҳамда
функциялар ҳам дифференциалланувчи бўлиб,
а)
б)
в)
тенгликлар ўриглидир.
а) ҳолни исботлаймиз.




ЮҚОРИ ТАРТИБЛИ ҲОСИЛА ВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЛАР.
Таъриф. Функция ҳосиласининг ҳосиласи шу функциянинг иккинчи тартибли ҳосиласи деб аталади ва у ёки f(x) каби белгиланади.
у = (у)
Функциянинг учинчи, тўртинчи ва ҳ.к. тартибдаги ҳосилалар юқоридагидек таърифланади.
у = (у), у^IV = (у), ...
Умуман, функциянинг n-тартибли ҳосиласи (n-1) тартибли ҳосиласининг ҳосиласидир:
y⁽ⁿ⁾ = (y^(n-1)) 
Таъриф. y = f(x) функция дифференциали dy нинг дифференциали берилган функциянинг иккинчи тартибли дифференциали деб аталади ва d²y ёки d²f(x) каби белгиланади:
d²y = d(dy) ёки d²f(x) = d(df(x)).
Худди шунга ўҳшаш, функциянинг учинчи, тўртинчи ва ҳ.к. тартибли дифференциаллари таърифланади,
Умуман, функциянинг n-тартибли ҳосиласи дифференциали унинг (n-1) тартибли дифференциалининг дифференциалидан иборатдир:
dⁿy = d(^(n-1)y)
Маълумки, функциянинг дифференциали унинг ҳосиласи орқали ушбу
dy = y dx формула билан ифодаланар эди. Бунда dx аргумент х нинг дифференциали бўлиб, у х га тенг. Шу тенгликдан фойдаланиб топамиз:
d²y = d(dy) = d(уdx) = (уdx)dx = уdх²
Демак, функциянинг иккинчи тартибли дифференциали функциянинг иккинчи тартибли ҳосиласининг аргумент дифференциали квадратига кўпайтмасига тенг.

66