15-ma’ruza. Kompakt operatorlarning asosiy xossalari

4-teorema. Banax fazosida kompakt operator va ixtiyoriy son berilgan bo‘lsin. operatorning absolyut qiymati bo‘yicha dan katta bo‘lgan xos qiymatlariga mos keluvchi chiziqli erkli xos vektorlarining soni cheklidir.
Isbot. Avvalo shuni ta’kidlaymizki, operatorning nolmas xos qiymatiga mos keluvchi xos vektorlaridan tashkil topgan invariant qism fazo chekli o‘lchamli bo‘ladi. Haqiqatan ham, agar qism fazoning o‘lchami cheksiz bo‘lganda edi, u holda operator qism fazoda va demak, butun da kompakt bo‘lmas edi. Shu sababli, teoremaning isbotini yakunlash uchun, agar kompakt operatorning nolmas, har xil xos qiymatlarining ixtiyoriy ketma-ketligi bo‘lsa, u holda ekanligini ko‘rsatish yetarli. O‘z navbatida ketma-ketlik chegaralangan bo‘ladigan har xil xos qiymatlarning cheksiz ketma-ketligi mavjud emasligini ko‘rsatish yetarli.
Faraz qilaylik, bunday ketma-ketlik mavjud bo‘lsin va vektor xos qiymatga mos keluvchi xos vektor bo‘lsin. Ma’lumki, vektorlar chiziqli erkli bo‘ladi. bilan vektorlarning chiziqli qobig‘ini belgilaymiz, ya’ni to‘plam

ko‘rinishdagi elementlardan tashkil topgan. Har bir uchun quyidagiga egamiz

Bu yerdan ko‘rinadiki,

Endi ketma-ketlikni shunday tanlaymizki,

shartlar bajarilsin. Agar ketma-ketlik chegaralangan bo‘lsa, u holda ketma-ketlik da chegaralangan bo‘ladi. Lekin shu bilan birga, ketma-ketlik o‘zida birorta ham yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlikni saqlamaydi. Haqiqatan ham, ixtiyoriy da

Chunki

Hosil qilingan qarama-qarshilik teoremani isbotlaydi.
Hilbert fazolarida kompakt operatorlar. Yuqorida biz Banax fazosida aniqlangan kompakt operatorlar haqida so‘z yuritdik va ularning ba’zi xossalarini isbotladik. Hozir biz bu ma’lumotlarni Hilbert fazosidagi kompakt operatorlarga taalluqli bo‘lgan ayrim faktlar bilan to‘ldiramiz.
Bizga Hilbert fazosi, uning nuqtasi hamda ketma-ketligi berilgan bo‘lsin.