15-ma’ruza. Kompakt operatorlarning asosiy xossalari

15-ma’ruza. Kompakt operatorlarning asosiy xossalari
Bu paragrafda biz kompakt operatorlar to‘plamining chiziqli normalangan fazo tashkil qilishini ko‘rsatamiz. Agar Banax fazosini Banax fazosiga akslantiruvchi kompakt operatorlar to‘plamini orqali belgilasak, u holda ning Banax fazosi bo‘lishini isbotlaymiz.
1-lemma. to‘plam Banax fazolari) chiziqli normalangan fazoning qism fazosi bo‘ladi.
Isbot. Lemmani isbotlash uchun kompakt operatorlarning yig‘indisi va songa ko‘paytmasi yana kompakt operator bo‘lishini ko‘rsatish yetarli. Faraz qilaylik va ixtiyoriy chegaralangan ketma-ketlik bo‘lsin. Ko‘rsatamizki, ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin. kompakt operator bo‘lgani uchun ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin. kompakt operator bo‘lgani uchun ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin. Demak, ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘ladi. Bundan operatorning kompakt ekanligi kelib chiqadi. Kompakt operatorning songa ko‘paytmasi yana kompakt operator bo‘lishligi shunga o‘xshash ko‘rsatiladi.
Endi qism fazoning yopiqligini isbotlaymiz.
1-teorema. Agar Banax fazosi bo‘lsa, u holda ham Banax fazosi bo‘ladi.
Isbot. Faraz qilaylik, ixtiyoriy fundamental ketma-ketlik bo‘lsin. ekanligidan ekanligi kelib chiqadi. fazoning to‘laligidan fundamental ketma-ketlikning biror operatorga yaqinlashishi kelib chiqadi. Endi limitik operator ning kompaktligini isbotlaymiz. Buning uchun chegaralangan ketma-ketlik qanday bo‘lmasin, ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkinligini ko‘rsatish yetarli.
kompakt operator bo‘lganligi uchun ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin.
(1)
qismiy ketma-ketlik shunday bo‘lsinki, ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lsin. Endi ketma-ketlikni qaraymiz. kompakt operator bo‘lganligi uchun shunday qismiy ketma-ketlik ajratish mumkinki, ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘ladi. Bu holda ketma-ketlik ham yaqinlashuvchi bo‘ladi. Yuqoridagidek mulohaza yurgizib, ketma-ketlikdan qismiy ketma-ketlik ajratish mumkinki, ketma-ketlik yaqinlashuvchi va hokazo. Bu jarayonni cheksiz davom ettiramiz va
(2)
diagonal ketma-ketlikni olamiz. Bu ketma-ketlikni operatorlar yaqinlashuvchi ketma-ketliklarga o‘tkazadi. (2) ketma-ketlikni operator ham yaqinlashuvchi ketma-ketlikka o‘tkazishini ko‘rsatamiz. Banax fazosi bo‘lganligi uchun ketma-ketlikning fundamental ekanligini ko‘rsatish kifoya.

. (3)
ketma-ketlik chegaralangan bo‘lganligi uchun, shunday mavjudki, ixtiyoriy da bo‘ladi. Ixtiyoriy son uchun sonni shunday tanlaymizki,

tengsizlik bajarilsin. Shunday soni mavjudki, barcha lar uchun

Bu shartlar bajarilganda (18.3) dan quyidagiga ega bo‘lamiz

Demak, da Bu esa ketma-ketlikning fundamental ekanligini ko‘rsatadi. to‘la fazo bo‘lganligi uchun u yaqinlashuvchi. Demak, kompakt operator.
1-natija. Agar operatorlar ketma-ketligi operatorga norma bo‘yicha yaqinlashsa, u holda ham kompakt operator bo‘ladi.
Natijaning isboti 1-teoremaning isbotidan bevosita kelib chiqdi.