15-ma’ruza. Kompakt operatorlarning asosiy xossalari

6-teoremaning isboti. Biz elementlarni ularga mos keluvchi xos qiymatlarning absolyut qiymatlari kamayib borishi tartibida induksiya bo‘yicha quramiz:

elementni qurish uchun funksionalni qaraymiz va uni birlik sharda maksimumga erishishini isbotlaymiz.

va ketma-ketlik uchun, va

bo‘lsin. Birlik shar da kuchsiz kompakt bo‘lganligi uchun dan biror elementga kuchsiz yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin. Bu holda va 4-lemmaga ko‘ra

Biz elementni deb qabul qilamiz. 5-lemmaga ko‘ra Bu holda 6-lemmaga ko‘ra bu yerdan Endi xos qiymatlarga mos keluvchi xos vektorlar qurilgan bo‘lsin. funksionalni

qism fazoda qaraymiz. qism fazo operatorga nisbatan invariant (chunki invariant va o‘z-o‘ziga qo‘shma operator). funksional da maksimumga erishsin. 6-lemmaga ko‘ra u operatorning xos vektori bo‘ladi, ya’ni
Bu yerda quyidagi ikki hol bo‘lishi mumkin.
i). Chekli qadamdan so‘ng, biz shunday qism fazoga ega bo‘lamizki, bu fazoda
ii). Ixtiyoriy uchun qism fazoda
Birinchi holda 6-lemmadan kelib chiqadiki, operator qism fazoni nolga o‘tkazadi, ya’ni qism fazo xos qiymatga mos keluvchi xos vektorlardan iborat. Bu holda qurilgan vektorlar sistemasi chekli sondagi elementdan iborat.
Ikkinchi holda xos vektorlarning ketma-ketligi hosil bo‘lib, ularning har biri uchun Bu holda ekanligini ko‘rsatamiz. ketma-ketlik (har qanday ortonormal sistema kabi) nolga kuchsiz yaqinlashadi, chunki ixtiyoriy uchun uning Fur'e koeffitsiyentlari uchun

munosabat o‘rinli. Sonli qator yaqinlashishining zaruriy shartidan ekanligi kelib chiqadi. Demak, ketma-ketlik nolga kuchli ma’noda (norma bo‘yicha) yaqinlashadi. Bundan

Quyidagicha belgilash kiritamiz

Faraz qilaylik, bo‘sh bo‘lmasin. Agar va bo‘lsa, u holda ixtiyoriy uchun

Bu yerdan limitga o‘tsak,

18.6-lemmani ( qism fazo uchun qo‘llab, ga ega bo‘lamiz, ya’ni operator qism fazoni nolga o‘tkazar ekan. sistemaning qurilishidan ko‘rinib turibdiki, ixtiyoriy vektor

ko‘rinishda tasvirlanadi. Bu yerdan