15-ma’ruza. Kompakt operatorlarning asosiy xossalari

1-ta’rif. Agar ixtiyoriy uchun bo‘lsa, ketma-ketlik ga kuchsiz yoki kuchsiz ma’noda yaqinlashuvchi deyiladi va shaklda belgilanadi.
2-ta’rif. Agar bo‘lsa, ketma-ketlik ga kuchli ma’noda yaqinlashuvchi deyiladi va shaklda belgilanadi.
Endi Hilbert fazosida kuchsiz ma’nodagi nisbiy kompakt to‘plam ta’rifini beramiz.
3-ta’rif. Agar to‘plamning ixtiyoriy ketma-ketligidan kuchsiz ma’noda yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin bo‘lsa ga kuchsiz ma’nodagi kompakt to‘plam deyiladi.
Quyidagi tasdiqni isbotsiz keltiramiz.
5-teorema. to‘plam kuchsiz ma’noda kompakt bo‘lishi uchun uning chegaralangan bo‘lishi zarur va yetarlidir.
Biz har qanday chegaralangan to‘plamni nisbiy kompakt to‘plamga akslantiruvchi operatorni kompakt operator deb atadik. bo‘lgani uchun, undagi hamma chegaralangan to‘plamlar (va faqat ular) kuchsiz kompakt. Demak, Hilbert fazosidagi kompakt operatorlarni har qanday kuchsiz kompakt to‘plamni nisbiy kompakt to‘plamga o‘tkazuvchi operator sifatida aniqlash mumkin. Va nihoyat, ayrim hollarda Hilbert fazosidagi operatorlarning kompaktligini tekshirishda quyidagi ta’rif qulay.
4-ta’rif. Agar Hilbert fazosida aniqlangan operator har qanday kuchsiz yaqinlashuvchi ketma-ketlikni kuchli yaqinlashuvchi ketma-ketlikka o‘tkazsa, u holda kompakt operator deyiladi.
Haqiqatan ham, bu shart bajarilgan bo‘lsin va chegaralangan to‘plam bo‘lsin. to‘plamning har qanday cheksiz qism to‘plami o‘zida kuchsiz yaqinlashuvchi ketma-ketlikni saqlaydi. Agar bu ketma-ketlik operator ta’sirida kuchli yaqinlashuvchi ketma-ketlikka o‘tkazilsa, u holda nisbiy kompakt.
Aksincha, kompakt operator va ketma-ketlik elementga kuchsiz ma’noda yaqinlashsin. U holda ketma-ketlik o‘zida kuchli yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlikni saqlaydi. Shu bilan birga ketma-ketlik ning uzluksizligiga ko‘ra ga kuchsiz yaqinlashadi. Bu yerdan kelib chiqadiki, ketma-ketlik bittadan ortiq limitik nuqtaga ega emas. Demak, yaqinlashuvchi ketma-ketlik.
Endi biz o‘z-o‘ziga qo‘shma bo‘lgan kompakt operatorlarni batafsilroq o‘rganamiz. Xususan, bunday operatorlar uchun chiziqli algebra kursidan ma’lum bo‘lgan matritsalarni diagonal ko‘rinishga keltirish haqidagi teoremaga o‘xshash Hilbert-Shmidt teoremasini isbotlaymiz. Avval quyidagi ikkita tasdiqni isbotlaymiz.