15-mavzu. Aniq integralni hisoblash reja

Matematikadan o’quv-uslubiy majmua Aniq integralni hisoblash

15-MAVZU. ANIQ INTEGRALNI HISOBLASH
Reja:

1. 
   Yuqori chegarasi o‘zgaruvchi aniq integral
   
2. 
   Nyuton-Leybnis formulasi
   
3. 
   Aniq integralda o‘zgaruvchini almashtirish
   
4. 
   Aniq integralni bo‘laklab integrallash
   

1. 
   Yuqori chegarasi o‘zgaruvchi aniq integral
   

funksiya kesmada aniqlangan va uzluksiz bo‘lsin. U holda u ixtiyoriy ( ) kesmada integrallanuvchi bo‘ladi, ya’ni istalgan uchun
(15.1)
integral mabjud bo‘ladi.
Agar ixtiyoriy da bo‘lsa, u holda integral asosi kesmadan iborat bo‘lgan egri chiziqli trapetsiyaning o‘zgaruvci yuzasi ni ifodalaydi (4-shakl).
kesmada (1) tenglik bilan aniqlanuvchi funksiya yuqori chegarasi o‘zgaruvchi aniq integral deyiladi.
funksiya kesmada uzluksiz va differensiallanuvchi bo‘ladi. Shunindek, bunda funksiya uchun quyidagi teorema o‘rinli bo‘ladi.
1-teorema (Nyuton-Leybnis teoremasi). kesmada uzluksiz funksiyaning yuqori chegarasi o‘zgaruvchi integrali dan yuqori chegara bo‘yicha olingan hosila mavjud va u integral ostidagi funksiyaning yuqori chegaradagi qiymatiga teng bo‘ladi, ya’ni
(15.2)
Isboti. va bo‘lsin. U holda aniq integralning xossasini qo‘llab, topamiz:

Bundan (1) tenglik va o‘rta qiymat haqidagi teoremaga ko‘ra
bu yerda
funksiyaning hosilasini aniqlaymiz:

da va chunki
U holda funksiyaning uzluksizligidan

bo‘ladi.
Nyuton-Leybnis teoremasi matematik analizning asosiy teoremalaridan biri hisoblanadi. Bu teorema differensial bilan aniq integral tushunchalari orasidagi munosabatni ochib beradi.
Bu teoremadan kesmada uzluksiz har qanday funksiya shu kesmada boshlang‘ich funksiyaga ega bo‘ladi va uning boshlang‘ich funksiyalaridan biri yuqori chegarasi o‘zgaruvchi integral bo‘ladi degan xulosa kelib chiqadi.
funksiyaning boshqa bir boshlang‘ich funksiyasi funksiyadan
o‘zgarmas songa farq qilgani uchun aniqmas va aniq integrallar orasidagi
ushbu bog‘lanish kelib chiqadi:
. (15.3)

2.