15-mavzu. Differensial tenglama va differensial tenglamalar sistemasini yechishning operatsion usuli. Reja

15-MAVZU.
Differensial tenglama va differensial tenglamalar sistemasini yechishning operatsion usuli.


Reja


1.Oʻzgarmas koeffitsiyentli chiziqli differensial tenglamalar uchun Koshi masalasini operatsion usulda yechish.
2.Chiziqli differensial tenglamalar sistemasini operatsion usulda yechish
1.Oʻzgarmas koeffitsiyentli chiziqli differensial tenglamalar uchun Koshi masalasini operatsion usulda yechish.
Quyidagicha differensial tenglamani koʻrib chiqamiz:
(1)
Quyidagicha boshlangʻich shartlarni bajaruvchi (1) tenglamaning yechimini qidiramiz:
, … , (2)
Aytaylik ; boʻlsin. (1) ni ikkala tomoniga Laplas almashtirishini va aslni differensiallash teoremasi, hamda Laplas almashtirishini chiziqlilik xossasiga koʻra, (2) boshlangʻich shartli (1) differensial tenglamani oʻrniga operator tenglamaga ega boʻlamiz:
(3)
Operator tenglamaning yechimini topamiz:
(4)
X(p) tasvir boʻyicha x(t) aslni topib, (1) va (2) Koshi masalasi yechimi x(t) ni topamiz.
Misol 1. ; x(0)=1; ; x(t)-?
Yechish.
u holda


kasrni soda kasrlarga yoyamiz:
; A, B, C-koeffitsiyentlarni topamiz.



Demak yechim


Oʻzgarmas koeffitsiyentli n-tartibli chiziqli differensial tenglamani yechish talab qilingan boʻlsin
; (1)
0 ga teng boʻlgan boshlangʻich shartlarda
(5)
yechimini topish talab qilinsin. Aytaylik
L(x)=1 (6)
tenglamaning (2) shartlarni bajaradigan yechimi aniq boʻlsin. Operator tenglamaga oʻtamiz:
, (7)
(8)
Operator koʻrinishdagi (7) va (8) tenglamalardan

Dyumel formulasiga koʻra:
(9)
ekanligini eʼtiborga olib
(10)
bundan (1) tenglamaning (5) nol boshlangʻich shartlardagi x(t) yechimi, quyidagicha boʻladi:
(11)
bunda (6) va (5) yordamchi masala yechimi.