15 –mavzu. Haqiqiy Yevklid fazosida chiziqli almashtirishlar

15.9-teorema. almashtirish o‘lchamli Yevklid fazosida ortogonal almashtirish bo‘lsin. da shunday ortonormal bazis mavjudki, bu bazisda almashtirishning matritsasi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:

bu yerda yozilgan elementlardan boshqa barcha elementlar nolga teng.
Isbot. 15.1-teoremaga muvofiq, fazodan bir yoki ikki o‘lchamli invariant qism fazoni tanlab olish mumkin. Agar bir o‘lchamli invariant qism fazo mavjud bo‘lsa, u holda orqali undagi uzunligi 1 ga teng bo‘lgan vektorni belgilaymiz va almashtirish uchun o‘rinli bo‘ladi.
Agar bir o‘lchamli invariant qism fazo mavjud bo‘lmasa, ikki o‘lchamli qism fazoni olamiz va vektorlar orqali undagi ortonormal bazisni belgilaymiz. Ma’lumki, ikki o‘lchamli qismfa-zodagi ortogonal almashtirish xos almashtirish bo‘ladi, aks holda da bir o‘lchamli invariant qism fazo mavjud bo‘ladi.
Demak, da almashtirishning matritsasi

ko‘rinishga keladi.
Ushbu qism fazoning barcha vektorlariga ortogonal bo‘lgan vektorlardan tuzilgan to‘plami yana invariant qism fazo bo‘ladi. Buni ko‘rsatish uchun ikki o‘lchamli bo‘lgan holni ko‘rsatish kifoya. Bir o‘lchamli bo‘lgan hol 15.4-lemmaga asosan kelib chiqadi.
Ixtiyoriy va vektorlar ekanligidan

kelib chiqadi.
Ixtiyoriy elementni ko‘rinishida yozish mumkinligi uchun, barcha lar uchun ekanligiga ega bo‘lamiz, ya’ni Demak, invariant qism fazo.
Ma’lumki, fazo o‘lchami bo‘lganida ga, bo‘lganda esa, ga teng bo‘ladi. fazo invariant qism fazo bo‘lganligi uchun, u ham yana bir yoki ikki o‘lchamli invariant qism fazoga ega. Endi yuqorida fazo uchun yuritilgan mulohazalarni fazo uchun takrorlaymiz.
Bu jarayonni davom ettirib, chekli qadamdan so‘ng ta juft-jufti bilan ortogonal, uzunliklari 1 ga teng bo‘lgan vektorlarni hosil qilamiz. Ularni fazoning bazisi deb qabul qilsak, ushbu bazisdagi almashtirish matritsasi quyidagi ko‘rinishga keladi:

Bunda diagonaldagi va ko‘rinishidagi kataklar bir o‘lchamli invariant qism fazoga,

ko‘rinishdagi kataklar esa ikki o‘lchamli invariant qism fazoga mos keladi. 