15 –mavzu. Haqiqiy Yevklid fazosida chiziqli almashtirishlar

15.8-ta’rif. Agar o‘lchamli haqiqiy Yevklid fazosidagi chiziqli almashtirish vektorlarning skalyar ko‘paytmasini saqlasa, ya’ni ixtiyoriy uchun

bo‘lsa, chiziqli almashtirish ortogonal almashtirish deyiladi.
Agar yuqoridagi tenglikda deb olsak

hosil bo‘ladi, ya’ni ortogonal almashtirish vektorlar uzunligini saqlaydi.
Bundan tashqari, vektorlar orasidagi burchak

kabi aniqlangani va bu ifodaning surati ham, maxraji ham ortogonal almashtirish natijasida o‘zgarmaganligi uchun, ortogonal almashtirish vektorlar orasidagi burchakni ham saqlaydi.
Bundan esa, ortogonal almashtirish ortonormal bazisni ortonormal bazizga o‘tkazishi kelib chiqadi, ya’ni ortogonal almashtirish vektorlar orasidagi burchakni hamda ularning uzunliklarini saqlaganligi uchun ortonormal bazis ortonormal bazisga o‘tadi. Demak,
(15.5)
Aytaylik, chiziqli almashtirishning biror ortonor-mal bazisdagi matritsasi bo‘lsin. Bu matritsaning ustunlari vektorlar koordinatalaridan iborat bo‘lganligi uchun (15.5) shart quyidagicha yoziladi:
(15.6)
Agar (15.6) shartni matritsa shaklida yozadigan bo‘lsak, yig‘indi matritsa bilan uni transponirlash natijasida hosil bo‘lgan matritsa ko‘paytmasining elementlarini beradi. Demak, (15.6) shartdan ortogonal almashtirish matritsasi bilan uni transponirlashdan hosil bo‘lgan matritsaning ko‘paytmasi birlik matritsaga teng ekanligi kelib chiqadi, ya’ni

Matritsalar ko‘paytmasining determinanti ularning determinantlari ko‘paytmasiga teng bo‘lgani uchun, ortogonal almashtirish matritsasi determinantining kvadrati 1 ga teng bo‘lishiga, ya’ni ortogonal almashtirish matritsasining determinanti ekanligiga ega bo‘lamiz.
Determinanti 1 ga teng bo‘lgan ortogonal almashtirishlar xos ortogonal almashtirishlar, –1 ga teng bo‘lgan almashtirishlar esa xosmas ortogonal almashtirishlar deyiladi.
Endi ortogonal almashtirishni bir va ikki o‘lchamli fazolarda tekshiraylik.
Aytaylik, vektor bir o‘lchamli fazoni vujudga keltiruvchi vektor, esa bu fazoda berilgan ortogonal almashtirish bo‘lsin. U holda va almashtirishning ortogonal ekanligidan kelib chiqadi, demak,
ya’ni
Bundan esa bir o‘lchamli fazoda faqat ikkitagina va ortogonal almashtirish mavjud ekanligi kelib chiqadi.
Ikki o‘lchamli fazodagi ortogonal almashtirishlarni o‘rganishga o‘tamiz. Aytaylik, ikki o‘lchamli fazoda bazis va bu bazisdagi matritsasi

bo‘lgan almashtirish berilgan bo‘lsin.
Dastlab, xos ortogonal almashtirishni ko‘rib chiqamiz, ya’ni deb faraz qilamiz. Almashtirishning ortogonallik shartidan,

tenglikka ega bo‘lamiz. Matritsaning determinanti 1 ga teng bo‘lganligi uchun,

ya’ni, ekanligi, bundan esa kelib chi-qadi. Demak, ikki o‘lchamli fazodagi xos ortogonal almashtirishning matritasi quyidagi ko‘rinishda bo‘lar ekan:

bu yerda
Agar deb belgilasak, ikki o‘lchamli fazodagi xos ortogonal almashtirishning ortonormal bazisdagi matritsasi quyidagi ko‘rinishga keladi

Endi almashtirish xosmas, ya’ni bo‘lgan holni qaraymiz. Bu holda matritsaning xarakteristik tenglamasi

ko‘rinishda bo‘ladi. Ushbu tenglama haqiqiy ildizlarga ega bo‘lganligi uchun, almashtirishning xos vektori mavjud, ya’ni
Aytaylik, vektor vektorga ortogonal bo‘lsin. Ortogonal almashtirish vektorlar orasidagi burchakni saqlashidan, ekanligini hosil qilamiz.

tenglikdan kelib chiqadi,
Demak, ikki o‘lchamli fazodagi xosmas ortogonal almashtirishning bazisdagi matritsasi

ko‘rinishda bo‘ladi.
Bundan esa matritsani faqat ushbu

kanonik ko‘rinishlardagina tasvirlanishi mumkinligi kelib chiqadi.