16-variant. I sinfda „tenglik“, „tengsizlik“, „tenglama“ tushunchalari

3. Тenglamalarning ba’zi turlari ustidagi ishning didaktik xusu­siyatlari, ularni yechish usullarini tushuntirish.


x = f ( x ) {\displaystyle x=f(x)} tenglamasining ildizlarini grafik usulda topish
Tenglamani yechish — bu uning barcha ildizlarini topish yoki ularning yoʻqligini (mavjud emasligini) isbot qilishdir. Baʼzan ildizlarga qoʻshimcha cheklashlar qoʻyiladi. Masalan, tenglama ildizlar faqat butun sonlar boʻlishi talab qilinishi mumkin. Funksiya argumenti (baʼzan „oʻzgaruvchi“ deb ataladi) tenglamalarda nomaʼlum miqdor deb ataladi. Oʻzgaruvchili f ( x ) = g ( x ) {\displaystyle f(x)=g(x)\,} tenglik bir x oʻzgaruvchili tenglama deb ataladi. Oʻzgaruvchining f(x) va g(x) ifodalar bir xil son qiymatlar qabul qiladigan har qanday qiymati tenglamaning ildizi yoki yechimi deyiladi.
Tenglamalarning teng kuchlari.
Bir xil ildizlarga ega tenglamalar teng kuchli tenglamalar deyiladi. Ildizga ega boʻlmagan har bir tenglama ham teng kuchli hisoblanadi. Tenglamani yechish jarayonida uni soddaroq, lekin berilgan tenglamaga teng kuchli boʻlgan tenglama bilan almashtirishga harakat qilinadi. Shuning uchun har qanday shakl almashtirishlarda berilgan tenglama unga teng kuchli tenglamaga oʻtishini bilish muhimdir.
Teorema: Agar tenglamada birorta qoʻshiluvchini tenglamaning bir tomonidan ikkinchi tomoniga ishorasini oʻzgartirib oʻtkazilsa, berilgan tenglamaga teng kuchli tenglama hosil boʻladi.
Masalan,
x 2 + 2 = 3 x {\displaystyle x^{2}+2=3x\,} tenglamaga teng kuchlidir.
x 2 + 2 − 3 x = 0 {\displaystyle x^{2}+2-3x=0\,} Teorema: Agar tenglamaning har ikkala tomonini noldan farqli bir songa koʻpaytirilsa yoki boʻlinsa, berilgan tenglamaga teng kuchli tenglama hosil boʻladi.
Masalan
x 2 + 1 3 = 2 x {\displaystyle {\frac {x^{2}+1}{3}}\ =2x} tenglama
x 2 + 1 = 6 x {\displaystyle x^{2}+1=6x\,} tenglamaga teng kuchli (birinchi tenglamaning har ikkala tomonini 3 ga koʻpaytirildi).
Tenglamaning asosiy xossalari.
Tenglama tarkibidagi algebraik ifodalar ustida turli amallar bajarish mumkin. Bunda tenglamaning ildizlari oʻzgarmaydi. Keng tarqalgan amallar quyidagilardir:

1. 
   Tenglamaning har ikki tomoniga aynan bir xil haqiqiy sonni qoʻshish mumkin.
   
2. 
   Tenglamaning har ikki tomonidan aynan bir xil haqiqiy sonni ayirish mumkin.
   
3. 
   Tenglamaning har ikki tomonini 0 dan boshqa har qanday haqiqiy songa boʻlish mumkin.
   
4. 
   Tenglamaning har ikki tomonini har qanday haqiqiy songa koʻpaytirish mumkin.
   
5. 
   Tenglamaning istagan tomonida qavslarni ochish mumkin.
   
6. 
   Tenglamaning istagan qismida oʻxshash qoʻshiluvchilarni keltirish mumkin.
   
7. 
   Tenglamaning istagan aʼzosini bir qismdan ikkinchi qismga qarama-qarshi belgi bilan olib oʻtish mumkin.
   
8. 
   Ba'zi hollarda har ikki tomonga ayrim bir funksiyalarni qoʻshish mumkin. Bunday amal bajarayotganda tenglama ildizlari yoʻqotilmasligiga e'tibor berish kerak. Masalan, y x = x {\displaystyle yx=x} tenglamasida ikki guruh yechim bor: y = 1 {\displaystyle y=1} (har qanday x bilan) va x = 0 {\displaystyle x=0} (har qanday y bilan). Ikkala tomonni ikkinchi darajaga koʻtarish (yaʼni, ikki tomonga f ( s ) = s 2 {\displaystyle f(s)=s^{2}} funksiyasini kiritish) berilgan tenglamani ( x y ) 2 = x 2 {\displaystyle (xy)^{2}=x^{2}}qilib oʻzgartiradi. Bu yangi tenglamada eski tenglamaning barcha ildizlari bilan birga yangi ildizlar ham bor: y = − 1 {\displaystyle y=-1} va x har qanaqa son.
   

Chiziqli tenglama bu ikkala tomoni ham birinchi darajali (nomaʼlum) koʻphadlardan iborat tenglamadir. Chiziqli tenglamani quyidagi koʻrinishda ifodalash mumkin: ax + b = 0, bu yerda a — nol boʻlmagan son, b — ozod had.
Kvadrat tenglama koʻp hadli, bir oʻzgaruvchili va ikkinchi darajali tenglamadir. Umumiy koʻrinishi odatda quyidagicha ifodalanadi: a x 2 + b x + c = 0. {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0.\,}
Bu yerda a, b, c — haqiqiy sonlar va a≠0. Agar a=1 boʻlsa, kvadrat tenglama keltirilgan tenglama, agar a≠1 boʻlsa, keltirilmagan tenglama deyiladi. a, b, c sonlari quyidagicha ataladi:

• 
  a — birinchi (bosh) koeffitsiyent;
  
• 
  b — ikkinchi koeffitsiyent;
  
• 
  c — ozod had.
  

Kvadrat tenglama ildizlari quyidagi formula boʻyicha topiladi:
x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a . {\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.} Ratsional tenglama deb ratsional ifodalardan tuzilgan tenglamaga aytiladi. Agar f(x) va g(x) ratsional ifodalar boʻlsa,f ( x ) = g ( x ) {\displaystyle f(x)=g(x)} tenglama ratsional tenglama deyiladi. Bunda agar f(x) va g(x) butun ifodalar boʻlsa, tenglama butun tenglama deyiladi. Agar f(x), g(x) ifodalardan hech boʻlmaganda biri kasr ifoda boʻlsa, f(x)=g(x) ratsional tenglama yoki kasr tenglama deyiladi. Chiziqli, kvadrat tenglamalar butun tenglamalardir
Bikvadrat tenglama deb toʻrtinchi darajali tenglamaga aytiladi. Umumiy koʻrinishi quyidagicha ifodalanadi: a x 4 + b x 2 + c = 0. {\displaystyle ax^{4}+bx^{2}+c=0.}
Bu yerda a≠0.