17-Маъруза. Ўтиш жараёнларини оператор усулда ҳисоблаш босқичлари

17.1 Оператор усули

Ван-дер-Поль ғояси билан боғлиқ бўлган оператор усулининг хозирги замон талқинининг моҳияти шундан иборатки, оригинал (асл) деб аталмиш ƒ(f) функцияга F(p) тасвир қиёсланади: бунда « p » оператори вақт t дан фарқли бўлган бирор ўзгарувчи, функция ƒ(f) эса t> 0 ёки t>0 бўлганда аниқланган ва t>o да узлуксиздир.

Оригинал ва тасвирларнинг мослигини « ~ » белги билан ифодалаймиз, яъни
~ ёки ~ (17.1)
Ушбу мослик ўзаро ягона маъноликда бўлиши зарур: ихтиёрий ƒ функцияга биргина F тасвир мос бўлиши, ихтиёрий F тасвир учун ягона ƒ функция, яъни оригинал мос бўлиши шарт.
Чизиқли тизимларни кўраётганимиз сабабли, тузилаётган тасвирлар тизими чизиқлилик принципини қаноатлантириши зарур: уни бундай таърифлаш мумкин:

~ (17.2)
Агар ƒ₁~F₁ ва ƒ₂~F₂ , (17.3)
бунда ва -ўзгармас кўпайтувчилар.
Кейинги ифодадан кўринадики, оригинални бирор ўзгармас қийматга кўпайтириш, тасвирни шу қийматга кўпайтиришга мос келади: оригиналга қўшиш эса тасвирни қўшишга мос.
Умумий ҳолда оригинал устидаги математик аммаларга тасвир устидаги ушбу математик амаллар мос келади. Агар шундай амаллар натижасида ƒ₁ функция ƒ₂ га айланса, F₁ эса F₂ айланса, у ҳолда натижалар учун ҳам мослик тўғри келади:
ƒ₁~F₁, ƒ₂~ F₂
Оператор усули дифференциал тенгламаларни ечиш учун киритилган, шунинг учун тасвирлаш тизими шундай қуриладики, натижада дифференциаллаш амали тасвир устида соддароқ бўлган алгебраик амал билан алмаштирилади. Бундай ҳолатда, оригинал учун ёзилган дифференциал тенглама тасвир учун ёзилган алгебраик тенглама билан алмаштирилади.
Шунга ўхшаш оригиналдан тасвирга ўтиб амалларни алмаштириб бажариш барча учун яхши маълум. Масалан, сонларнинг логарифмларини оригиналнинг тасвири деб қаралиши мумкин: ~ , бунда оригиналнинг кўпайтмаси улар тасвирининг йиғиндиси ~ деб қаралади. Аниқланган тасвирлар йиғиндиси орқали оригиналлар кўпайтмаси аниқланади. Гармоник функция (оригинал)ни комплекс орқали тасвирлаш бунга яна бир яққол мисолдир. Бунда оригинални дифференциаллаш - тасвирни jω га кўпайтиришга мос келади.
Бундан ташқари, оператор усулини қўллаш барча функцияларнинг бошланғич қийматларини аниқлашдан озод этади - улар оддий ўткинчи жараёнлар учун ҳам, худди шундан ножўя коммутация масалалари учун ҳам ўз-ўзидан келиб чиқади.
Функция ни дифференциаллаш чизиқли амал бўлганлиги учун
(17.4)
тасвир учун бажариладиган алгебраик амаллар ҳам чизиқли бўлиши шарт.
Оддий чизиқли амал - бу р операторга кўпайтиришдир: у оператор усулида дифференциаллашга хос бўлган амал, деб қабул қилинган:
агар ~ бўлса ~ . (17.5)

Бунда 10.1,а-расмда кўрсатилгандек t>0 бўлганда узлуксиз

t<0

17.1-расм

бўлганда нолга тенг бўлган функция ƒ(t)дан олинган умумлаштирилган ҳосилани аниқлайди, деб қабул қилинади.