17-Маъруза. Ўтиш жараёнларини оператор усулда ҳисоблаш босқичлари

Даража t нинг тасвири. Агар ~ F ва t<0 бўлганда ƒ=0 бўлса, унда:
~ pF=1/p.
Охирги боғланишнинг ўнг томонидан қуйидагини аниқлаймиз:
~ t (17.12)
Шунга ўхшаш,
~ (17.13)
эканлигини топамиз.
Экспонентанинг тасвири. Фараз қилайлиқ:
~ F, (17.14)
ва t<0 бўлганда ƒ=0 бўлсин, яъни
(17.15)
бўлсин. Бундай холатда (17.6), (17.5) ва (17.8) дан t < 0- учун
~ (17.16)
экани аниқланади.
Тенглик (17.16) нинг ўнг томонини F га нисбатан ечсак ва таърифга кўра (17.17) оригиналнинг тасвири экспонента бўлишини ёддан чиқармай туриб, қуйидагини аниқлашимиз мумкин:
~ . (17.17)
Унга интеграллаш (10.9)ни тадбиқ этиб, қуйидагини аниқлаймиз:
~ . (17.18)
«Операторлар мослиги» билан ишлашнинг оддий воситасини тушиниш учун шуни эътиборга олиш зарурки, келтириб чиқарилган ифодаларни чизиқлилик қоидаси (17.4), (17.7) ва (17.17) ифодалардан фойдаланиш йўли билан ҳам аниқлаш мумкин:
~ (17.19)
Ифоданинг ўнг томонида умумий махражга келтириш амали бажарилди. Шу йўл билан экспоненталар ( ва х.к.) билан ифодаланган турли ҳилдаги функцияларнинг тасвирини аниқлаш мумкин.
[ƒ(0-) ≠ 0] бўлгандаги ҳосила тасвири. Функциялар ва тасвирлар билан амалларни бажарганда биз ƒ(0-) = 0 деб фараз қилган эдик. Агар
ƒ(0-)≠0 бўлса, у ҳолда умамлаштирилган ҳосилага қуйидаги ҳад қўшилади:

~ (17.20)
чунки бу (17.20) ифодадан келиб чиқади.
(17.20) да ўнг томонидаги ифода чап томон тасвиридир, чунки (17.8)га кўра ~ 1 . Бу эса, ҳосиланинг тасвири эканини кўрсатади
~ (17.21)
Демак, охирги ифода ҳар доим қўлланилиши мумкин, чунки
ƒ(0-) =0 бўлганда ўз-ўзидан (17.21)дан хусусий ҳол (17.5) келиб чиқади.
Ифода (17.21) L_- ўзгартишга мос келади; L₊ ўзгартишда эса қуйидагича:
~ (17.21,а)
деб ёзилади.
Ушбу икки ифодалаш коммутация қонунини амал қиладиган бўлган барча оддий масалаларга мос келади.
Юқори ҳосилаларни (17.21) дан ҳосил қилиш осон: бунинг учун келтириб чиқарилган ифодани φ(f)=df/dt функцияга қўлланилса кифоя.