18-ma’ruza. Fure qatori va uning tadbiqlari. Reja: Фурье қатори ва унинг тадбиқлари

Funktsional qatorlarning tekis yaqinlashishi.
Ta’rif: Agar son uchun barcha va ixtiyoriy nuqtalar uchun tengsizlik bajarilsa, u holda (18.1) funktsional qator sohada tekis yaqinlashuvchi deyiladi.
Funktsional qatorning tekis yaqinlashishi tushunchasi kuchli tushunchadir. Agar qator tekis yaqinlashsa, unda uni yaqinlashishi umuman olganda ta’minlanadi. Lekin qatorning yaqinlashishidan hamma vaqt tekis yaqinlashish kelib chiqavermaydi.
Qator tekis yaqinlashishining Veyershtrass alomati.
Agar funktsional qatorning har bir hadi t – mda ushbu tengsizlikni qanoatlantirsa va (*) sonli qator yaqinlashuvchi bo’lsa u holda funktsional qator sohada tekis yaqinlashuvchi bo’ladi. ( = ) (*) qatorga (18.1) funktsional qatorning majorant qatori deyiladi.


Tekis yaqinlashuvchi funktsional qatorning xossalari.
Berilgan (1) funktsional qator sohada yaqinlashuvchi bo’lib, uning yig’indisi bo’lsin ( soha dan iborat):
1) Agar (18.1) funktsional qatorning har bir hadi sohada uzluksiz bo’lib, bu funktsional qator da tekis yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda qatorning yig’indisi ham sohada uzluksiz bo’ladi.
2) Agar (18.1) funktsional qatorning har bir hadi sohada uzluksiz hosilaga ega bo’lib, bu hosilalardan tuzilgan
funktsional qator da tekis yaqinlashuvchi bo’lsa u holda (18.1) qatorning yig’indisi shu da hosilaga ega va bo’ladi.
3) Agar (18.1) qatorning har bir hadi da uzluksiz bo’lib, funktsional qator shu segmentda tekis yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda qator hadlarining integrallaridan tuzilgan qator yaqinlashuvchi bo’ladi, uning yig’indisiga ga teng bo’ladi.
Darajali qatorlar. Abel teoremasi. Darajali qatorlarning yaqinlashish radiusi va intervali. Abs. YAqinlashuvchi daraja qatorning xossalari.
Ushbu (18.4) ko’rinishdagi qator darajali qator deb ataladi. Bu erda lar o’zgarmas sonlar bo’lib, ular darajali qatorning koeffitsientlari deyiladi.
Demak, darajali qatorlar funktsional qatorning xususiy holidan iborat.
Har qanday darajali qator nuqtada yaqinlashuvchi bo’ladi, chunki bu holda (18.4) qator ko’rinishda sonli qatorga aylanadi va bo’ladi.
Teorema: (Abel teoremasi).
Agar (18.4) darajali qator x ning qiymatida yaqinlashuvchi bo’lsa u holda x ning (18.5) tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida (18.4) darajali qator absolyut yaqinlashuvchi bo’ladi.
Isboti: Teoremaning shartiga ko’ra ......... sonli qator yaqinlashuvchi demak

Demak (3) o’rinli (1) qatorni quyidagi yozib olamiz.

(4) Bu qator hadlarining absolyut qiymatlaridan gi qatorni tuzamiz.


(5)

quyidagi geometrik qatorni qaraymiz.

(6)
dan (6) yaqinlashuvchi (5) ham yaqinlashuvchi.
Demak (18.4) qator absolyut yaqinlashadi.
Natija: Agar (18.4) darajali qator da uzoqlashuvchi bo’lsa u holda x ning tengsizlikni qanoatlantiruvchi hamma qiymatlarida uzoqlashuvchi bo’ladi.