19-Mavzu: Ba’zi bir irratsional va binomial ifodalarni integrallash. Reja

19-Mavzu: Ba’zi bir irratsional va binomial ifodalarni integrallash.
REJA:

1. 
   Irratsional kasrlarni integrallash.
   
2. 
   Irratsional kasrlarni eng sodda ratsional kasrlar yordamida ifodalash.
   

Irratsional funksiyalarni o‘z ichiga olgan integrallarning ba’zi tiplarini ko‘ramiz.
Differensiyal binomlari integrallari
Ta’rif : ko’rinishidagi integral differensiyal binomlari integrallari deb ataladi
Bu erda m, n,иp – ratsional sonlar
Bu ko’rinishdagi integrallar uchta elementar funksiyalar yordamida ifodalanadi:

1. 
   Agar р – butun son bo’lsa, u holda integral o’rniga qo’yish yordamida rasional funksiya integraliga keltiriladi., bunda  - kasrlar maxrajlari m va n ning eng kichik karralisi.
   
2. 
   Agar - butun son bo’lsa, u holda integral o’rniga qo’yish yordamida rasional funksiya integraliga keltiriladi, bunda s – р kasrning maxraji.
   

3) Agar - butun son bo’lsa, u holda deb olamiz, bunda s –рkasrning maxraji.
1. ko‘rinishdagi integrallar.
Ushbu ko‘rinishdagi integral ratsional funksiyaning integraliga keltirish mumkin, bu erda butun son, esa va ga nisbatan ratsional funksiya.
Haqiqatan, berilgan integralda deb o‘zgaruvchini almashtiramiz, u holda
.
Demak, .
Tenglikning o‘ng tomonidagi integral ga nisbatan ratsional funksiya integralidir.
1-misol. integralni toping.
Yechish: Bu erda, deb, ni topamiz.
Demak, shunday qilib, bu integralni ratsional funksiya integraliga keltirdik.
. o‘rniga ni qo‘yib hisoblab qo‘yamiz:
;
Xuddi shuningdek umumiy ko‘rinishdagi, ushbu irratsional funksiyali integral o‘rniga qo‘yish yordamida, ratsional funksiyani integrallashga keltiriladi.
2. ko‘rinishdagi integrallar.
Kvadratik irratsionallik ishtirok etgan integralimiz xususiy hollarda,
, , ko‘rinishdagi integrallarni hisoblashdir. Bunday ko‘rinishdagi integrallarni hisoblash uchun kvadrat uchhadni to‘la kvadratga ajratib olamiz ya’ni,

va quyidagi belgilashni kiritamiz. Natijada, va integrallar to‘g‘ridan-to‘g‘ri integrallar jadvaliga tushadi, integral esa ikkita integral yig‘indiga keladi.
Bundan tashqari, va integrallar ham, integralning xususiy holidir.
Birinchi integral, to‘g‘ridan-to‘g‘ri jadvaldagi integraldir.
Ikkinchi integralni hisoblash uchun almashtirish bajaramiz. So‘ngra tenglikning ikkala tomonini kvadratga ko‘tarib, ni hosil qilamiz, bundan . Budan tashqari, bo‘lgani uchun .
Lekin, bo‘lgani uchun quyidagiga ega bo‘lamiz .
2-misol. integralni toping.
Yechish: deb, bundan, , va ga teng.
Shunday qilib,
;
3. ko‘rinishdagi integrallar.
Bu integrallarni topish uchun tegishli trigonometrik almashtirishlar yordamida trigonometrik funksiyalarnga bog‘liq bo‘lgan ratsiornal funksiyalarni integrallashga keltiriladi, ya’ni
a) integralda yoki almashtirish integralni ratsionallashtiradi.
b) integralda yoki almashtirish integralni ratsionallashtiradi.
a) integralda yoki almashtirish integralni ratsionallashtiradi.
3-misol. ni toping.
Yechish: Berilgan integral a) holdagi integralga to‘g‘ri keladi almashtirish bajaramiz, u holda , bo‘ladi.
, bo‘lgani uchun, ; shunga ko‘ra,
.
Bundan tashqari har qanday ko‘rinishdagi integralni ham trigonometrik almashtirishlar yordamida hisoblash mumkin. Buning uchun kvadrat uchhadni to‘la kvadratga ajratib, ya’ni

almashtirish bajarganimizdan so‘ng, ko‘rinishdagi integrallarni integrallashga keltiriladi.