1950 yil Zey’del-Komponeyts

Глобал ечимларнинг мавжудлик теоремаси.


(1)
(2)
Бу масала қуввати га тенг бўлган изотроп чизиқсиз муҳитда иссиқлик тарқалишнинг математик модели бўлади.Бу масаланинг глобал ечимлари қачон мавжуд бўлади ? u(t,x), t>0 ва нинг қандай қийматларида глобал ечим мавжуд?
Теорема: (Фужита) бўлсин. У ҳолда нинг етарлича кичик қийматлари учун глобал ечимлар мавжуд бўлади ва бу глобал ечимлар қуйидаги шартни қаноатлантиради:


, А>0


Исбот: Солиштириш теоремаси ёрдамида исботлаймиз. Бунинг учун функциясини қурамиз. Бу функцияни қуриш учун чизиқсиз ажратиш алгоритмидан фойдаланамиз. Бу алгоритмга кўра 1-босқичда

тенгламанинг ечимини топамиз. Бу тенгламанинг ечими қуйидагича:
,
2-босқичда:


(3)
(3) ни (1) га қўямиз:
/:

(4)
Дастлабки қисм (чап томон ва 1-қўшилувчи) қуйидаги автомодель ечимга эга:


(5)

Натижада (4) тенглама қуйидаги кўринишга эга бўлади:

(6)

Агар бўлса, бўлади. Бундан эканлиги келиб чиқади.

Шундай қилиб:

Теорема исботланди.

(8)
(9)

Фужита шарти :

Cамарский, К. Г. М. теоремаси: (8), (9) масалада шарт бажарилсин. У ҳолда учун глобал ечимлар мавжуд бўлади ва бу ечим учун қуйидаги баҳо ўринли бўлади:
Исботи: Чизиқсиз ажратиш усули ёрдамида юқори z(t,x) функцияни тузиш ва шу билан U(t,x) нинг чегараланганлигини кўрсатамиз:
1 – қадам

(10)

(10) ни (8) га қўйсак:

, (11)

(12)

Автомодель тенглама

z(t,x) – функция t ва х лар бўйича да узлуксиз (t 1 марта, х лар буйича 2 марта)

Агар бўлса, махсус ҳол дейилади. Унда бўлса (8), (9) масала ечими чегараланмаган бўлади.

Global echimlarning mavjudligi teoremasi.(davomi).

(1) Au= - + (u^ u) (t)u^=0

t>0, xR^N
(2) u_t=0=u₀(x)0, xR^N
0<<1, >1, =1 bo’lgan xollarni alohida-alohida qaraymiz.
Masalaning global echimlari mavjudligi  ga (t) koyfisentga,  ga fazo o’lchovi N ga va ishoraga bog’liq.Tabiyki , u₀(x) ga ham bog’liq bo’ladi.Bu savolga javob berish uchun bo’lajak yuqori echimni chiziqsiz ajratish algoritmi yordamida topamiz.