1950 yil Zey’del-Komponeyts

B>1 : u(t,x)z (t,x),
Q=(t,x): t>0, xR^N 
D=(t,x): t>0, x.

Demak, Z(t,x) ni qurish bilan shug’ullanamiz:

Buning uchun chiziqsiz ajratish algoritmini qo’llab

=- (t)
tenglamani echamiz.

Uning echimi:

u (t) =T+(-1)  ^- , T0.

Sungra u(t,x) ni quyidagicha qidiriladi

(2) u(t,x)= u(t)w(,x)

(2) ni (1) tenglamaga qo’yamiz unda

(3) u(t)  (w )

tenglama hosil bo’ladi , agarda

(t)= u (t) ^ dt

deb tanlasak.

So’ngra
(4) w(,x)=f() , = x /

deb olsak va (4) ni (3) ga qo’ysak, natijada quyidagi
taqribiy avtomodel tenglama hosil bo’ladi .
(5)
Agar bo’lganda edi unda (5) aniq avtomodel yechim bo’lar edi.

Lemma ,

(6)
(- 

D da Az0 ekanligini ko’rsatamiz: Buninig uchun solishtirish teoremasining foydalanib, yuqoridagi tenglama uchun shart bajarilishi yetarli

(7) , shart bajarilishi etarli.

Teorema. Agar (7) shart,bajarilsa, va u₀(x)z(0,x) bo’lsa (t>0), u holda Q sohada
u(t,x) z(t,x) buladi
Hususiy hol (t)==const.
Teorema: (Samariskiy A,A Kurdyumov CP,Mixayilov N.P):
Faraz qilamiz >+1+ . Unda etarlicha kichik u₀ uchun (1),(2) masalaning global echimi mavjud buladi va u echim uchun quyidagi baho
u(t,x) At<sup>-1/-1


urinli buladi</sup>

Teorema Faraz qilaylik

shart bajarilgan bulsin. Unda Q sohada
u
bulsa unda
u(t,x)
Bu erda ,
  ,

Isbot. Agar bulsa unda

buladi
Shuning uchun , shartdan
kelib chiqadi
Bu xolda
Az=
Shartni bajarilishi uchun
bulishi etarlidir.
Buni nazarda tutib teoremaning isboti solishtirish teoremasidan kelib chiqadi.
Teorema :Kritik holda, yani da, u bo’lsa, (1),(2) masalaning echimi har doum chegaralanmagan bo’ladi, ya’ni, t>0 mavjudki bunda
t bulganda u(t,x) buladi.