2- ma’ruza. Koʼp oʼzgaruvchili funktsiyaning taʼrifi, aniqlanish va oʼzgarish sohasi, limiti, uzluksizligi va xususiy xosilalari

 
Koʻp oʻzgaruvchili funksiyalarning limiti 
son funksiyaning
nuqtada limiti deyiladi, agar har 
qanday 
nuqtalar ketma-ketligi uchun 
nuqtaga yaqinlashganda 
boʻlsa, bu holda limit 
yoki 
koʻrinishda yoziladi. 
Bunday holda taqriban, 
va
qiymatlar bir birlaridan farqli oʻlaroq 
mos ravishda ixtiyoriy 
va sonlarga 
intiladi, ya’ni nuqta
nuqtaga ixtiyoriy yoʻl boʻyicha 
yaqinlashadi. 
9.8-misol 
nuqta
funksiyaning 
limit nuqtasi emasligini koʻramiz. Buning uchun ikkita turli xil { 
(
)} va 
{ 
(
)} nuqtalar ketma-ketligini olamiz. Birinchi holatda biz toʻgʻri 
chiziq boʻylab, ikkinchi holatda esa, 
parabola boʻyicha 
nuqtaga 
yaqinlashamiz degan ma'noni anglatadi (9.16-rasm).
Aynan

---

ya’ni
trayektoriya boʻylab nuqtaga yaqinlashadi. Bunday holda, 
funksiya limiti 
nuqta bilan bogʻliqlik yoʻqligini bildiradi, jumladan, bu nuqta 
ham surati, ham maxraji nolda teskarilanuvchi funksiya. Shu bilan birga, misol 
tariqasida 
nuqtada funksiya limitga ega. Haqiqatan ham, ixtoyoriy obrazi 
boʻlsin. U vaqtda
bu yerda
Cheksiz kichik
va 
larning nolga intilishidan 
boʻladi. Shunday qilib,
Bir oʻzgaruvchili funksiyaning limitini ta’riflaganimizdek, koʻp 
oʻzgaruvchili funksiya uchun ham yozuvida ta’riflash mumkin: son 
funksiyaning
nuqtadagi limiti deyiladi, agar har qanday
son uchun shunday 
qiymat topilsaki, 
| |
ya’ni 
| |
shart bajarilsa. 
Shubhasiz, 9.1-lemmaga asosan (9.11) dagi ifodani 
| | | | | |
koʻrinishda yozish mumkin. 
Shuningdek, (9.10) va (9.12) koʻrinishda keltirilgan ifodalar erkli 
oʻzgaruvchilar soniga bogʻliq boʻlmagan holda yozilgan. Funksiya limiti 
ta’rifiga koʻra, bu holatda va sonlardan bittasini ga tenglab ifodalash 
oson. Agar funksiya limitining ta'rifi sonlar ketma-ketligi limiti asosida tuzilgan 
boʻlsa, u holda limitlar nazariyasi bir oʻzgaruvchili funksiyalar uchun qurilgan 
limitlar nazariyasi, osonlik bilan koʻp oʻzgaruvchili funksiya holatiga oʻtkaziladi. 
Misol sifatida, har qanday chekli sondagi funksiyalar yigʻindisining limiti ularning 
limitlar yigʻindisiga teng .