2- ma’ruza. Koʼp oʼzgaruvchili funktsiyaning taʼrifi, aniqlanish va oʼzgarish sohasi, limiti, uzluksizligi va xususiy xosilalari

 
9.9-misol.
funksiya berilgan boʻlsin. 

---

(
)
(
)
ya’ni berilgan holatdagi takroriy limitlarning ikkisi ham mavjud, lekin oʻzaro teng 
emas. 
9.10-misol. Endi
boʻlsin. U holda
(
)
(
)
ya’ni takroriy limitning bittasi mavjud, boshqasida esa yoʻq. 
9.11-misol. 
Buni koʻrish oson 
[
]
[
]
ya’ni ikki takroriy limit nuqtada mavjud va ular oʻzaro teng. Oʻzgaruvchilar 
oʻzaro teng boʻlsa,
limit mavjud boʻlmaydi. Haqiqatan ham,
toʻgʻri chiziq boʻylab 
nuqtaga yaqinlashganda 
hosil boʻladi. Misol uchun oʻqi boylab harakatlanganda esa,
boʻladi, ya’ni ikkita turli xil limit hosil boʻladi. 
9.12-misol.  
Bu yerda aksincha, takroriy limitlarning ikkisi ham 
nuqtada mavjud emas. Shu 
bilan birga, agar bir vaqtning oʻzida boʻlsa, u holda
ifodaning birinchi koʻpaytuvchisi cheksiz kichik, keyingi ikkita koʻpaytuvchilar 
chegaralangan boʻladi. Shuning uchun,
, ya’ni nuqtada 
funksiyaning limiti mavjud. 
 

---

8. Koʻp oʻzgaruvchili funksiyalarning uzlukliligi va uzluksizligi 
tekislikdagi ba'zi bir toʻplamda 
funksiya aniqlangan boʻlsin va 
bu toʻplamning limit nuqtasi 
boʻlsin ya’ni
. funksiya
nuqtada uzluksiz deyiladi. Agar 
ya’ni agar 
Bu ta’rifni larda ifodalansa: funksiya
nuqtada uzluksiz 
deyiladi agar ixtiyoriy 
uchun shunday mavjud boʻlsaki, 
|
|
Endi faraz qilaylik, 
funksiya toʻplamda aniqlangan boʻlsin va 
bu toʻplamning biror nuqtasi boʻlsin. kattalikni orttirmaga, ni 
esa oʻzgarishsiz qoldiramiz.
ifoda
nuqtada 
oʻzgaruvchi boʻyicha funksiyaning xususiy orttirmasi deyiladi va 
orqali belgilanadi. Faraz qilaylik,
boʻlsin,
kattalikning orttirmasidan esa 
nuqtada 
oʻzgaruvchi boʻyicha funksiyaning xususiy orttirmasi deyiladi. Va nihoyat bir 
vaqtning oʻzida va kattaliklar va orttirmalarga ega boʻlsin.
ayirma 
nuqtada funksiyaning toʻla orttirmasi deyiladi. E'tibor bering, 
umuman aytganda 
. 
√
belgilashni kiritamiz. Tabiiyki,
Endi (9.14) tenglikni
koʻrinishda yozish mumkin. 
Bu tenglik funksiya uzluksizligining orttirma ta'rifini ifodalaydi. 
(9.14) va unga ekvivalent boʻlgan (9.16) tengliklar toʻplamning va
oʻzgaruvchilari boʻyicha funksiyaning uzluksizligini aniqlaydi. 
funksiya toʻplamning oʻzgaruvchi boʻyicha
nuqtada uzluksiz deyiladi, agar
boʻlsa, ya’ni

---

funksiya oʻzgaruvchi boʻyicha uzluksizligini yuqoridagi kabi 
ta’riflash mumkin. Shubhsiz, funksiya oʻzgaruvchilar toʻplami boʻyicha nuqtada 
uzluksiz boʻlsa, u holda bu nuqtada funksiya har bir qismi boʻyicha uzluksiz 
boʻladi. Aksincha, umumiy mulohazalar notoʻgʻri.