2- ma’ruza. Koʼp oʼzgaruvchili funktsiyaning taʼrifi, aniqlanish va oʼzgarish sohasi, limiti, uzluksizligi va xususiy xosilalari

9.13-misol. Quyidagi kabi aniqlangan funksiyani olaylik: 
{
Biz koʻrgan (9.8- misolga qarang)
limit mavjud emas, shuning uchun (9.17) funksiya 
nuqtada uzluksiz emas. 
Shu bilan birga barcha 
da ( va oʻz ichiga oladi) va shuning 
uchun 
hamda shunga oʻxshash
boʻladi. 
Shunday qilib,
funksiya nuqtada har bir va boʻyicha uzluksiz, 
biroq ularning toʻplami boʻyicha uzluksiz emas. 
Aytilganlarning barchasi 
funksiya uchun umumlashtiriladi. Jumladan, (9.14) va 
(9.15) ifodalar bu holatda avvalgi koʻrinishini saqlaydi, 
(9.16) dan esa, 
, bu yerda
√∑
E'tibor bering, oʻzgaruvchili 
boʻlgan 
holda 
funksiya 
oʻzgaruvchilar 
toʻplamlari 
boʻyicha 
uzluksizligi 
ularning har biri boʻyicha uzluksizligini talab qiladi, lekin har bir 
oʻzgaruvchilar jufti boʻyicha uzluksiz boʻlmasdan, har bir
oʻzgaruvchilar 
uchligi boʻyicha uzluksiz boʻladi va hokazo. 
funksiya
toʻplamda uzluksiz deyiladi, agar uning har bir 
nuqtasi uzluksiz boʻlsa.
funksiyaning aniqlanish sohasiga tegishli har qanday limit nuqtasi 
bu funksiyaning uzluksizlik nuqtasi boʻlmasdan, uning uzilish nuqtasi deyiladi. 
9.14-misol. 
funksiya faqat 
nuqtada uzulishga ega. 
9.15-misol. 
funksiya 
boʻlgan barcha nuqtalarda uzulishga 
ega (9.18-rasm). 
 
 
 

---

10. Funksiyaning xususiy hosilasi 
 
funksiya sohada berilgan boʻlsin.
nuqtada ga 
orttirma berib,
ni hosil qilamiz.
ayirma va 
nisbatni hisoblaymiz. Agar  
limit mavjud boʻlsa, u holda bu funksiyaning oʻzgaruvchi boʻyicha 
xususiy hosilasi deyiladi va 
yoki 
orqali belgilanadi. 
Funksiyaning 
oʻzgaruvchi boʻyicha xususiy hosilasi ham shunga oʻxshash 
ifodalanadi: 
Agar xususiy hosilalarni hisoblayotganda “joriy” nuqta oʻrnida aniq 
fiksirlangan 
nuqta berilmasa, u holda ularni shunchaki
va 
(yoki 
va 
) belgilash mumkin. 
va oʻzgaruvchilar uchun ular, odatda, va larning 
funksiyalari boʻladi. 
Shubhasiz, 
odatdagi qoida va differensiallash formulasiga binoan topiladi, 
lekin ayni paytda differensiallash faqat 
oʻzgaruvchiga nisbatan amalga oshiriladi, 
esa oʻzgarmas deb hisoblanadi. Xuddi shunday, 
ni hisoblash paytida 
deb qabul qilinadi. Umuman olganda, har qanday oʻzgaruvchiga ega 
boʻlgan funksiyaning xususiy hosilasi ulardan biriga nisbatan nisbatan hisoblanadi, 
differensiallanuvchi oʻzgaruvchidan tashqari barcha oʻzgaruvchilar oʻzgarmas 
saqlanadi.