2. Chiziqli fazoning faktor fazosi. Chiziqli funksionallar va ularning geometrik ma’nosi

2. Chiziqli fazoning faktor fazosi.
Bizga chiziqli fazo va uning xos qism fazosi berilgan bo‘lsin. ning elementlari orasida quyidagicha munosabat o‘rnatish mumkin.
8-ta'rif. Agar elementlar uchun ayirma ga tegishli bo‘lsa, va ekvivalent elementlar deb ataladi.
Fazo elementlari orasida o‘rnatilgan bu munosabat refleksivlik, simmetriklik va tranzitivlik xossalariga ega. Haqiqatan ham, (refleksivlik); dan (simmetriklik); , dan (tranzitivlik). Shuning uchun bu munosabat ni o‘zaro kesishmaydigan sinflarga ajratadi va har bir sinf o‘zaro ekvivalent elementlardan tashkil topgan. Bu sinflar qo‘shni sinflar deb ataladi. Barcha qo‘shni sinflar to‘plami chiziqli fazoning qism fazo bo‘yicha faktor fazosi deb ataladi va ko‘rinishda belgilanadi.
Tabiiyki, har qanday faktor fazoda yig‘indi va songa ko‘paytirish amallari kiritiladi.
Aytaylik, va lar dan olingan ixtiyoriy qo‘shni sinflar bo‘lsin. Bu sinflarning har biridan bittadan vakil tanlaymiz, masalan . va sinflarning yig‘indisi sifatida elementni saqlovchi sinf qabul qilinadi. qo‘shni sinfning songa ko‘paytmasi sifatida elementni saqlovchi sinf qabul qilinadi. Natija vakillarning tanlanishiga bog‘liq emas, chunki, qandaydir boshqa vakillarni olsak ham bo‘lgani uchun bo‘ladi. Bevosita tekshirish shuni ko‘rsatadiki, da aniqlangan qo‘shish va songa ko‘paytirish amallar chiziqli fazo ta'rifidagi aksiomalarni qanoatlantiradi (buni mustaqil tekshirib ko‘rishni o‘quvchiga tavsiya qilamiz). Boshqacha aytganda, faktor fazo chiziqli fazo tashkil qiladi.
Shunday qilib, har bir faktor fazo unda yuqorida ko‘rsatilgan usulda kiritilgan yig‘indi va songa ko‘paytirish amallariga nisbatan chiziqli fazo tashkil qiladi. Shuni ta'kidlash joizki, har qanday faktor fazoda qism fazo faktor fazoning nol elementi bo‘ladi. Ma'lumki, qism fazoning elementlari o‘zaro ekvivalent va qism fazo L chiziqli fazoning nol elementini saqlaydi. Shuning uchun va qo‘shni sinf lar ning yig‘indisi ( ) elementni saqlovchi qo‘shni sinfga, ya'ni ga teng.
Misollar. 1. Faktor fazoga misol keltirishni tushunish nisbatan osonroq bo‘lgan dan boshlaymiz. fazoning xos qism fazosini qaraymiz va faktor fazoning elementlarini, ya'ni qo‘shni sinflarning tavsifini beramiz. Ma'lumki, bo‘lishi uchun bo‘lishi zarur va yetarli. Demak, faktor fazoning elementlari (qo‘shni sinflar) o‘qiga parallel bo‘lgan to‘g‘ri chiziqlardan iborat. Masalan, nuqtani o‘zida saqlovchi qo‘shni sinf o‘qiga parallel bo‘lgan to‘g‘ri chiziqdan iborat. Xuddi shunday, (1,2) va (2,3) nuqtalarni saqlovchi qo‘shni sinflar yig‘indisi (3,5) nuqtani saqlovchi to‘g‘ri chiziqdan iborat. qo‘shni sinfning 3 ga ko‘paytmasi (3,6) nuqtani saqlovchi to‘g‘ri chiziqdan iborat.
2. Ma'lumki kesmada -darajasi bilan Lebeg ma'nosida integrallanuvchi funksiyalar to‘plami chiziqli fazo tashkil qiladi va u simvol bilan belgilanadi. Bu fazoning nolga ekvivalent funksiyalaridan tashkil topgan qism fazosini ko‘rinishda belgilaymiz. Endi chiziqli fazoning qism fazo bo‘yicha faktor fazosini qaraymiz va bu faktor fazoni bilan belgilaymiz. Bu fazo kesmada aniqlangan va –darajasi bilan Lebeg ma'nosida integrallanuvchi ekvivalent funksiyalar fazosi deb ataladi.
1-teorema. Agar - o‘lchamli chiziqli fazo va - uning - o‘lchamli qism fazosi bo‘lsa, u holda faktor fazo - o‘lchamli bo‘ladi.
Isbot. Aytaylik, elementlar sistemasi da bazis bo‘lsin. Bu sistemani elementlar bilan fazo bazisigacha to‘ldiramiz. Bu elementlar bir-biri bilan ekvivalent emas, aks holda sistema chiziqli bog‘langan bo‘lar edi. Shuning uchun elementlar har xil qo‘shni sinflarga tegishli bo‘ladi. orqali element tegishli bo‘lgan sinfni belgilaymiz.
Endi elementlar sistemasining da bazis bo‘lishini isbotlaymiz. Ixtiyoriy qo‘shni sinfni olaylik va bo‘lsin. U holda

yoyilma o‘rinli bo‘ladi. (har qanday faktor fazoda qism fazo faktor fazoning nol elementi bo‘ladi, ya'ni ) bo‘lgani uchun

element qo‘shni sinfga tegishli va

yoyilma o‘rinli bo‘ladi. Bundan

tenglik kelib chiqadi. Har qanday da

bo‘lgani uchun chiziqli bog‘lanmagan sistema bo‘ladi. Shunday qilib, sistema chiziqli bog‘lanmaganligi va har bir sinf sinflarning chiziqli kombinatsiyasidan iborat bo‘lganligi uchun sistemaning bazis ekanligiga kelamiz. Demak, fazo - o‘lchamli chiziqli fazo ekan.