2. Chiziqli fazoning faktor fazosi. Chiziqli funksionallar va ularning geometrik ma’nosi

1-ma’ruza
Mavzu: Chiziqli fazolar. Chiziqli va qavariq funksionallar. Minkovskiy funksionali. Xan-Banax teoremasi


1. Chiziqli fazolar va ularga misollar. Chiziqli fazoning qism fazosi
2. Chiziqli fazoning faktor fazosi.
3. Chiziqli funksionallar va ularning geometrik ma’nosi
4. Chiziqli funksionallar va ularning geometrik ma’nosi
5. Funksionalni davom qildirish

Chiziqli fazo tushunchasi matematikada asosiy tayanch tushunchalardan hisoblanadi. Quyida bilan kompleks sonlar, bilan haqiqiy sonlar to‘plamini belgilaymiz.

1. Chiziqli fazolar va ularga misollar
1-ta'rif. Agar elementlari ,… bo‘lgan to‘plamda quyidagi ikki amal aniqlangan bo‘lsa:
I. Ixtiyoriy ikkita elementlarga ularning yig‘indisi deb ataluvchi aniq bir element mos qo‘yilgan bo‘lib, ixtiyoriy elementlar uchun
1) (kommutativlik),
2) (assotsiativlik),
3) L da shunday element mavjud bo‘lib, (nolning mavjudligi),
4) shunday element mavjud bo‘lib, (qarama-qarshi elementning mavjudligi) aksiomalar bajarilsa;
II. ixtiyoriy element va ixtiyoriy son ( yoki ) uchun x elementning songa ko‘paytmasi deb ataluvchi aniq bir element mos qo‘yilgan bo‘lib, ixtiyoriy va ixtiyoriy sonlar uchun
5)
6) ,
7)
8)
aksiomalar bajarilsa, u holda to‘plam chiziqli fazo deb ataladi.
Ta'rifda kiritilgan I va II amallar mos ravishda yig‘indi va songa ko‘paytirish amallari deb ataladi.
Chiziqli fazolarga misollar keltiramiz.
Misollar. 1. haqiqiy sonlar to‘plami odatdagi qo‘shish va ko‘paytirish amallariga nisbatan haqiqiy chiziqli fazo tashkil qiladi. kompleks sonlar to‘plami ham kompleks sonlarni qo‘shish va ko‘paytirish amallariga nisbatan kompleks chiziqli fazo tashkil qiladi.
2. ta haqiqiy sonlarning tartiblangan guruhlari to‘plami. Bu yerda elementlarni qo‘shish va songa ko‘paytirish amallari quyidagicha aniqlanadi: ixtiyoriy va lar uchun
(1)
. (2)
- to‘plam (1) va (2) tengliklar bilan aniqlangan qo‘shish va songa ko‘paytirish amallariga nisbatan haqiqiy chiziqli fazo tashkil qiladi va u n - o‘lchamli haqiqiy chiziqli fazo deb ataladi.
3. . Bu yerda ham elementlarni qo‘shish va songa ko‘paytirish amallari (1) va (2) tengliklar ko‘rinishida aniqlanadi. - to‘plam kompleks chiziqli fazo bo‘ladi va u n- o‘lchamli kompleks chiziqli fazo deb ataladi.