2. Chiziqli fazoning faktor fazosi. Chiziqli funksionallar va ularning geometrik ma’nosi

Xan- Banax teoremasi tadbiqiga misollar
1. uzluksiz funksiyalar fazosi va uning qism fazosi ni qaraymiz. qism fazoda chiziqli funksionalni quyidagicha aniqlaymiz:

chiziqli fazoda va funksionallarni esa quyidagicha aniqlaymiz:

Quyidagicha savol qo‘yamiz.
1) funksional (1) tengsizlikni qanoatlantiradimi?
2) funksional funksionalning fazogacha davomi bo‘ladimi?
3) qanday tanlanganda funksional Xan-Banax teoremasining shartlarini qanoatlantiradi?
Yechish. funksional (1) tengsizlikni qanoatlantiradi. Haqiqatan ham,
.
Agar , u holda

bo‘ladi. Shuning uchun, barcha larda tenglik o‘rinli. Demak, barcha lar uchun funksional funksionalning fazogacha davomi bo‘ladi. Nihoyat,

tengsizlik,

shartni qanoatlantiruvchi barcha larda o‘rinli. Demak, bo‘lsa, Xan-Banax teoremasining shartlari bajariladi. Shunday qilib funksionalni (1) shartni saqlagan holda cheksiz ko‘p (kontinuum) usul bilan fazogacha davom ettirish mumkin ekan.
Nazorat uchun savollar

1. 
   Chiziqli fazo deb qanday fazoga aytiladi?
   
2. 
   Chiziqli fazoga misollar keltiring.
   
3. 
   Chiziqli erkli va chiziqli bog ‘liq elementlar sistemasi ta’rifini keltiring va ularning farqini tushuntiring.
   
4. 
   Chiziqli fazo bazisi deganda nimani tushunasiz?
   
5. 
   Qism fazo ta’rifini keltiring.
   
6. 
   Chiziqli funksional ta’rifini keltiring
   
7. 
   Chiziqli funksionalning geometrik ma'nosini tushuntiring.
   
8. 
   fazoda gipertekislikka misol keltiring.
   
9. 
   fazoda chiziqli funksionalni qaraymiz. fazoda to‘plam gipertekislik bo‘ladimi?
   
10. 
    Qavariq to‘plam deb qanday to‘plamga aytiladi?
    
11. 
    da to‘g‘ri chiziq (kesma) qavariq to‘plam bo‘ladi, lekin qavariq jism bo‘lmasligini ko‘rsating.
    
12. 
    Qavariq funksional ta’rifini keltiring.