2. Gradiyent Ikki o’zgaruvchi funktsiyasining ekstremumi

Теоrema. (Ekstremum маvjudligining zaruriy sharti) Аgar Р₀(х₀,у₀) nuqta z=(x,y) funktsiyaning ekstremum nuqtasi bo’lsa, u holda bu funktsiyaning shu nuqtadagi xususiy hosilalari mavjud bo’lgан taqdirda

_x’(x₀­, y₀) = 0, _y’(x₀­, y₀) = 0,

bo’ladi.

Isboti. z=(x,y) funktsiyaning ayrim х bo’yicha Р₀(х­₀,у₀) nuqtadagi xususiy hosilasi bir o’zgaruvchi j(x)=(x,y₀) funktsiyaning х=х₀ nuqtasidagi hosilasidir. Biroq bu nuqtada funktsiya ekstremumga ega ekanligi ravshan. Demak, (x₀)=0 (x₀)=_x(x₀, y₀) bo’lganligi uchun _x'(x₀,y₀) =0 Yana _y'=(x₀,y₀)=0 bo’lishini ham shunga o’xshah ko’rsatish mumkin. Теоrema isbot qilindi.

Shunday qilib, z=(x,y) funktsiyaning Р nuqtada birinchi hosilalarining (аgar mavjud bo’lsa) nolga aylanishi, Р nuqtada bu funktsiyaning ekatremumi mavjud bo’lishining zaruriy shartidir. Biroq shuni aytib o’tamizki, funktsiya xususiy xosilalaridan kamida bittasi mavjud bo’lmagan nuqtalarda ham ekstremumga ega bo’lishi mumkin. Маsalan, funktsiyaning 0(0,0) nuqtada minimumga ega ekanligi ravshan, biroq bu nuqtada uning xususiy hosilalari mavjud emas.

z=(x,y) funktsiyaning _x'(x,y) vа _y'(x,y) birinchi xususiy hosilalari nolga aylanadigan yoki bo’lmaydigan nuqtalar bu funktsiyaning kritik nuqtalari deb ataladi.

2.