2-ma’ruza : mantiqiy elementlar reja : Raqamli texnikaning mantiqiy asoslari Mantiqiy funksiyalaarning berilish usullari

3. Mantiqiy sxemalar shakllari

Oldinda aytilganiday barcha raqamli qurilmalar sodda mantiqiy elementlar asosida quriladi. Asosan bu mantiqiy elementlarni mantiqiy algebraning sodda funksiyalari bajaradi. Eng sodda mantiqiy elementlar bir argumentli funksiyalar orqali tavsiflanadi. Eng ko‘p qo‘llaniladigan mantiqiy funksiyalarni va ularning sxemalardagi tasvirlarini ko‘rib chiqamiz. Barcha bir argumentli funksiyalar orasidan faqat (mantiqiy YOQ) funksiya amaliy axamiyatga ega. Invertor uchun rostlik jadvali quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi .

x	f
1	0
0	1

Invertorning grafik tasviri 12-rasmda ko‘rsatilgan.



12-rasm.
Ikki argumentli funksiyani amalga oshirish ham katta amaliy axamiyatga ega. Barcha mumkin bo‘lgan funksiyalar 3.3-jadvalda keltirilgan. Biz hammasi bo‘lib 16 ta turli funksiyalarni hosil qilamiz. 13-jadval.

Argumentlar	X1	0	0	1	1
	X2	0	1	0	1
Funksiyalar	f0	0	0	0	0
	f1	0	0	0	1
	f2	0	0	1	0
	f3	0	0	1	1
	f4	0	1	0	0
	f5	0	1	0	1
	f6	0	1	1	0
	f7	0	1	1	1
	f8	1	0	0	0
	f9	1	0	0	1
	f10	1	0	1	0
	f11	1	0	1	1
	f12	1	1	0	0
	f13	1	1	0	1
	f14	1	1	1	0
	f15	1	1	1	1

14-jadvalda funksiyalarning nomi, shartli belgilanishi va bu funksiyalarni amalga oshiruvchi mantiqiy elementlarning nomlari keltirilgan.
14. Jadval

Funksiya	Funksiyaning nomlanishi	MND Sh	VA, YOKI, YO’Q bazislarida ifodalanish	Funksiyaning belgilanishi	Mantiqiy elementlarning nomi	Shartli belgilashlar
f0	Doimiy		0	0	Nolning generatori	0
f1	Konunktsiya	x1x2	x1x2	x1x2	VA elementi	x1 x2
f2	Teskari inkor	x1x2	x1x2	x1=x2	Inkor	x1 x2
f3	X ni takrorlash	x1x2 v x1x2	x1	x1		x1
f4	Inkor	x1x2	x1x2	x1=x2	Inkor	x1 x2
f5	X ni takrorlash	x1x2 v x1x2	x2	x2		x2
f6	2 modul asosida qo’shish	x1x2 v x1x2	x1x2 v x1x2	x1x2	MOD-2	M2 x1 x2
f7	Dizyunktsiya	x1x2 v x1x2 v x1x2	x1x2	x1 v x2	YOKI elementi	1 x1 x2
f8	Veb funktsiya (Pirs strelkasi)	x1x2	x1x2	x1x2	YOKI –YOQ Elementi	1 x1 x2
f9	Ekvivalentlik	x1x2 v x1x2	x1x2 v x1x2	x1=x2	Ekvivalentlik	1 x1 x2
f10	X invers	x1x2 v x1x2	x2	x2	YOQ elementi	x2

16 ta funksiyadan biz uchun f₁, f₆, f₇, f₈ и f₁₄ lari asosiy bo‘ladI


Mantiqiy sxemalarni sintez qilish
Mantiqiy funksiyalarni tasvirlashning kanonik shakllari. Mantiqiy qurilmani sintez qilish bir nechta bosqichlarga bo‘linadi. Birinchi bosqichda so‘z bilan, jadval ko‘rinishida yoki boshqa shakllarda berilgan funksiyalarni qandaydir bazisdan foydalanib, mantiqiy ifoda ko‘rinishida tasvirlash kerak. Keyingi bosqichlar, sintez jarayonida eng kam miqdordagi elektron asbob va qurilmaning funksio‘nal sxemasini ratsio‘nal qurishni ta’minlaydigan funksiyalarning eng kichik shakllarini hosil qilishga mo‘ljallanadi.Birinchi bosqich uchun mantiqiy qurilmani qurish uchun qanday bazis ishlatilganligidan qat’iy nazar, odatda VA, YOKI,YO‘Q bazisi qo‘llaniladi.
Keyingi almashtirishlarni osonlashtirish uchun, funksiyani tasvirlashning quyidagi ikki boshlang‘ich kanonik shakli qabul qilingan: mukammal diz’yunktiv normal shakl (MDNSH) va mukammal kon’yuktiv normal shakl (MKNSH).
Mukammal diz’yunktiv normal shakl (MDNSH). Diz’yunktiv normal shakl (MDNSH) deb, funklsiyaning shunday tasvirlash shakliga aytiladiki, bunda funksiyaning mantiqiy ifodasi har biri argumentlarning sodda konyunksiyasi yoki ularning inversiyasi bo‘lgan hadlar qatorining diz’yunksiyasi ko‘rinishida quriladi. DNSH ga misol sifatida qo‘yidagi misolni keltiramiz:
(3.1)

DNSH bo‘lmaydigan funksiyani tasvirlash shaklini keltiramiz. Masalan, quyidagi funksiya

DNSH da tasvirlanmagan, chunki oxirgi hadi argumentlarning sodda konyunksiyasi bo‘lmaydi.

Huddi shunday, funksiyani tasvirlashning qo‘yidagi shakli ham DNSH bo‘lmaydi:

Agar DNSH ning har bir hadida funksiyaning barcha argumentlari (yoki ularning inversiylari) tasvirlangan bo‘lsa, unda bunday shakl MDNSH deb ataladi. (3.1) ifoda MDNSH bo‘la olmaydi, chunki uning uchinchi hadigina funksiyaning barcha argumentlarini o‘z ichiga oladi.
DNSH dan MDNSH ga o‘tishda barcha argumentlar tasvirlanmagan har bir hadiga ko‘rinishdagi ifodani kiritish kerak, bu yerda x_i.-argumentdagi mavjud bo‘lmagan argument, bo‘lgani uchun bunday amal funksiyaning qiymatini o‘zgartira olmaydi. DNSH dan MDNSH ga o‘tishni quyidagi ifoda ko‘rinishida ko‘rsatamiz.
(3.2)
Hadlarga ko‘rinishdagi ifodani qo‘shish quyidagi funksiyaga olib keladi.
Bundan, o‘xshash hadlarni keltirganimizdan so‘ng:

ya’ni MDNSH ni hosil qilamiz, agar boshlang‘ich funksiya jadval ko‘rinishida berilgan bo‘lsa, unda MDNSH bevosita hosil qilinishi mumkin. 15-jadval

X1	0	0	0	0	1	1	1	1
X2	0	0	1	1	0	0	1	1
X3	0	1	0	1	0	1	0	1
f(x1x2x3x4)	0	0	1	1	0	1	0	1

15-jadval ko‘rinishidagi funksiya berilgan bo‘lsin. Bu funksiya uchun MDNSH quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi.

(3.2) dagi har bir had f(x₁,x₂,x₃) funksiya 1 ga teng bo‘ladigan argumentlar qiymatining qandaydir to‘plamiga mos keladi. f(x₁,x₂,x₃) funksiya 1ga teng bo‘ladigan (3-, 4-, 6-, 8-chi to‘plam ustunlari) argumentlarning har bir to‘plamida 1 (3.2) ifodaning mos hadiga aylantiradi, buning natijasida funksiyaning o‘zi 1ga teng bo‘ladi
Rostlik jadvali bilan berilgan funksiyani MDNSH da yozishning quyidagi qoidasini keltiramiz. Jadvaldagi funksiyada nechta 1 mavjud bo‘lsa, shuncha hadlarni argumentlarning kon’yunksiyasi ko‘rinishida yozish kerak. Har bir kon’yunksiya funksiyani 1 ga aylantiradigan argumentlar qiymatining aniq bir to‘plamiga mos kelishi kerak, va agar bu to‘plamda argumentning qiymati 0 ga teng bo‘lsa kon’yunksiyaga shu argumentning inversiyasi kiritiladi. Har bir funksiya yagona MDNSH ga ega ekanligini e’tiborga olamiz.
Mukammal kon’yuktiv normal shakl (MKNSH).
Кon’yuktiv normal shakl (KNSH) deb funksiyani har biri, argumentning sodda dizyunksiyasi (yoki ularning inversiyalari) bo‘ladigan hadlar qatorining kon’uynksiyasi ko‘rinishida tasvirlash shakliga aytiladi.
KNSHga funksiyani tasvirlashning quyidagi shakli misol bo‘la oladi :

KNSH bo‘lmaydigan funksiyani tasvirlash shaklini keltiramiz :

Bu shakl MKNSH bo‘lmaydi, chunki uning birinchi hadi qolganlari bilan kon’yunksiya amali orqali bog‘lanmagan.

KNSHning har bir hadida MKNSH barcha argumentlari keltirilgan bo‘lishi kerak . KNSHdan MKNSH ga o‘tish uchun barcha argumentlarni o‘z ichiga olmaydigan har bir hadiga х_i*х_i ko‘rinishdagi hadlarni qo‘shish kerak, bu yerda х_i haddagi mavjud bo‘lmagan argument
х_i*х = 0 bo‘lgani uchun bunday amal funksiyaning qiymatiga ta’sir qilmaydi. х_i*х ifodani qandaydir Y hadiga qo‘shish natijasida quyidagi ko‘rinishga keltiruvchi Yх_i *х

ifoda hosil qilinadi
Bu tenglikning to‘q‘riligi taqsimlash qonunidan kelib chiqadi, buni ifodaning o‘ng tomonidagi qavslarni ochish orqali ko‘rsatish mumkin. Quyidagi funksiya misolida

KNSH dan MKNSHga o‘tishni ko‘rib chiqamiz:

Quyidagi ifodaning biror hadining ustida almashtirish bajarib taqsimot qonunini qo‘llashni ko‘rsatamiz:

Belgilaymiz

Zarur belgilashlarni kiritgandan so‘ng, taqsimot qonuni asosida quyidagiga ega bo‘lamiz

Quydagicha belgilab taqsimot qonunini qo‘llaymiz.

Z₁ va Z₂ ning qiymatlarini, o‘rniga qo‘iyb KNSH dan MKNSHga o‘tishda keltirilgan ifodaning mos hadlarini hosil qilamiz.
MKNSH funksiyalar rostlik jadvali bo‘yicha oson quriladi. Misol sifatida 3.1 jadvalda keltirilgan funkiyani ko‘rib chiqamiz.
(2.3)
Ifoda f(x₁, x₂, x₃) funksiyasi rostlik jadvalida qiymatlari orasida nechta nol bo‘lsa, shuncha konyunksiya amali bilan bog‘langan hadlarga ega. Shunday qilib, funksiya nolga teng bo‘ladigan argumentlar qiymati toplamiga shu to‘plamda nol qiymatga ega bo‘luvchi MKNSHning aniq bir hadi mos keladi. MKNSH hadlari kon’yunksiya amali bilan bog‘langanligi uchun, hadlaridan birortasi nolga teng bo‘lsa funksiya ham nolga teng bo‘ladi.
Shunday qilib, rostlik jadvali orqali berilgan MKNSH funksiyani yozish qoydasini keltiramiz. Argumentlar qiymatlarining qancha to‘plamlarida funksiya nolga teng bo‘lsa, barcha argumentlar diz’yunksiyasini tashkil qiluvchi, shuncha kon’yunktiv hadlarni yozish kerak va agar to‘plamda argumentning qiymati 1 ga teng bo‘lsa,u holda diz’yunksiyaga shu argumentning inversiyasi kiradi.
Ihtiyoriy funksiya yagona MNKSH ga ega.
Mantiqiy qurilmaning tuzilmali sxemasi bevosita amalga oshirilayotgan funksiyaning kanonik shakliga (MDNSH yoki MKNSH) asosan quriladi. (3.2 ) va (3.3) funksiyalar uchun hosil qilingan sxemasi 3.9a va 3.9b rasmda keltirilgan

16-rasm.



17-rasm
Qurilmaning, umuman olganda, to‘g‘ri ishlashini ta’minlovchi bu usulning kamchiligi ham yo‘q emas. Hosil qilingan sxemalar juda murakkab, katta sondagi mantiqiy elementlardan foydalanishni talab qiladi, unumliligi va ishonchliligi juda quyi. Ko‘p hollarda funksiyalarni o‘zgartirmasdan mantiqiy ifodalarni shunday soddalashtirish mumkinki, bunda mos keluvchi tuzilmali sxema soddaroq bo‘lib qoladi. Funksiyani bunday soddalashtirish funksiyalarni minimallashtirish deyiladi.
Takrorlash uchun savollar:
1.Ilk mexanik manbalar
2.Mukammal kon’yuktiv normal shakl (MKNSH).
3.Ilk matematik manbalar