2-Ma’ruza mashg’ulot. Avtonom sistemalar. Avtonom yechimning xossalari. Avtonom sistemaning muvozanat xolati. Xolatlar fazosi va trayektoriyasi. Chiziqli bir jinsli ikkinchi tartibli uzgarmas koeffisiyentli avtanom sistemaning holatlar

2-Ma’ruza mashg’ulot.


Avtonom sistemalar.Avtonom yechimning xossalari.Avtonom sistemaning muvozanat xolati. Xolatlar fazosi va trayektoriyasi. Chiziqli bir jinsli ikkinchi tartibli uzgarmas koeffisiyentli avtanom sistemaning holatlar tekisligi. Maxsus nuqta.


Ta’rif.Agar oddiy differensial tenglamalar sistemasiga erkli o’zgaruvchi oshkor ravishda kirmasa, bunday sistema muxtor sistema deyiladi.
Differensial tenglamalarning normal muxtor sistemasi
(1.1)
ko’rinishda bo’ladi yoki vektor ko’rinishda.
(2.1)
Agar erkli o’zgaruvchi ni vaqt deb qabul qilsak, sistema dinamik sistema deb ataladi.
Teorema 1. Agar vektor funksiya (2.1) normal muxtor vektor tenglamaning biror yechimi bo’lsa, u xolda ixtiyoriy o’zgarmas uchun

vektor funksiya xam (2) tenglamaning yechimi bo’ladi.
Isbot

Endi funksiya (2.1) tenglamaning yechimi ekanligi ko’rsatamiz.
Shartga ko’ra funksiya (2.1) tenglamani biror yechimi bo’lganligi uchun
ayniyat bajariladi.
Bunda  o’rniga  ni olsak

gaegabo’lamiz
Bungako’ra
Ya’ni (2.1) tenglamaning yechimi (1.1) muxtor sistemaning xar bir vektor yechimiga  o’lchovli fazoda nuqtaning harakatining mos keltiramiz.Harakat davomida nuqtao’sha fazoda biror chiziqni chizidi.Shu chiziqka nuqtaning harakat troyektoriyasi deyiladi.
Teorema 2. Agar vektor funksiyalar (2.1) tenglamaning ixtiyoriy yechimlar bo’lsa, u xolda bu yechimlar yo birorta nuqtada kesishmaydi yoki butunlay ustma ust tushadi.
Boshqacha aytganda, agar da bo’lsa u xolda ayniyat bajariladi.
Isbot. Teoremani isboti uchun yechimdan boshqa
yechimni
Bundan
Ya’ni
Ya’ni (2.1) tenglamaning ikkita va yechimlari bir xil boshlangich qiymatlariga ega. Demak Koshi teoremasining shartlari bajariladi yagonalik teoremasiga asosan yechimlar ustma-ust tushadi.


Agar (2.1) sistemaning yechimi bo’lsa o’lchovli fazoda integral chiziqlar tenglamasi ushbu

ko’rinishida berilgan, bu integral chiziqga mos troyektoriya  uqiga parallel bo’lgan  o’lchovli fazoda bu chiziqning proyeksiyasini aniqlaydi.
Trayektoriyalarni urganish integral chiziqlarni urganishga nisbatan sistema tuzishda oz ma’lumot beradi, lekin ba’zi xollarda trayektoriyalarni urganish sistema xaqida yetarli ma’lumot beradi.
Ta’rif.Agar bo’lsa, (2.1) avtonom sistemaning muvozanat nuqtasi deyiladi.
Agar muvozanat nuqta bo’lsa, (2.1) tenglamaning yechimi bo’ladi.
Haqiqatan
Agar  muvozanat nuqta bo’lsa, u xolda xolat trayektoriya
Hosila ga nisbatan yechilgan birinchi tartibli
(1) va (2)
tenglama berilgan bo’lsin.
nuqta (1) va (2) tenglamalar ko’rilayotgan soxaninng ichki nuqtasi bo’lsin.
Ta’rif Agar P nuqtaning shunday atrofi mavjud bo’lsakim, bu atrofning xar bir nuqtasidadan (1) yoki (2) differensial tenglamaninng fakat bitta integral egri chizig’i o’tsa va bu atrofda yokt bo’lsa, P nuqtaga berilgan differensial tenglamaning oddiy nuqtasi deyiladi.
P nuqta oddiy nuqta bo’lishi uchun bu nuqtada funksiyasi  ga nisbatan uzluksiz va ga nisbatan Lipshis shartini qanoatlantirishi yoki funksiya  ga nisbatan uzluksiz va  ga nisbatan Lipshis shartini qanoatlantirishi yetarlidir.
Ta’rif Agar 1-ta’rifdagi shartlardan birortasi xam bajarilmasa u xolda P nuqtaga maxsus nuqta deyiladi.
Ta’rif Agar f tenglamada shart bajarilsa u xolda nuqtaga berilgan differensial tenglamaning maxsus nuqtasi deyiladi.
Endi (3)
avtonom tenglamalar sistemasini qaraymiz.
Bu sistemani
(4)
ko’rinishga keltirish mumkin.
(0,0) nuqta (3) sistemani yechim bo’ladi.
(4) tenglama uchun tipidagi maxsus nuqta. (0,0) nuqta bu tenglamaning maxsus nuqtasi bo’ladi. (4) tenglamaning soddalashtirish maksadida
(5)
almashtirishini olamiz.
Bunda lar ixtiyoriy o’zgarmas sonlar bo’lib, ya’ni (5) almashtirish maxsusmas almashtirishdir. Ularni shunday tanlab olamizkim, (4) tenglamaning surati ga, maxraji esa ga teng bo’lsin.
(5) dan
. Bunga asosan (4) tenglama

shartgako’ra

. Bundan xar bir tenglamada x va y oldidagi koeffisiyentni tenglashtirsak, kuyidagi 2 ta tenglamalar sistemasiga
(6) (7)
ega bo’lamiz.
Bular larga nisbatan bir jinsli tenglamalar sistemasidir.Bu tenglmalar sistemasi nol bo’lmagan yechimga ega bo’lishi uchun uning asos determinanti 0 ga teng bo’lishi zarur.
(8) (9)
Bularni ochib yozsak
(10)
(11)
(10) va (11) dan ko’rinadikim va lar bir xil kvadrat tenglamaning ildizlaridir.
(10)va (11) tenglamalarga xarakteristik tenglama deyiladi.
{(3) va (4) tenglamalarning} xarakteristik tenglamani
(10)
ko’rinishda yezib olamiz.
Isbot etamizki (5) almashtirish, maxsusmas almashtirtshdir xakikatdan (10) tenglamaning ildizini (6) ning birinchisiga qo’ysak
ga ega bo’lamiz.
ildizini (7) ni birinchisiga qo’ysak
ga ega bo’lamiz.
Bu keyingi tenglikning chap va ung tamonlari bir-biriga teng bo’lmagani uchun ya’ni
ya’ni
demak (5) almashtir yordamida berilgan tenglamani
(12)
kurinishga keltirish mumkin. Bunda kuyidagi xollar bo’lishi mumkin.
1-Xol.
Xarakteristik tenglamini ildizlari bir-birga teng emas
a) xarakteristik tenglamaning ildizlari xakikiy va bir-biriga teng emas
va bo’lsin
(12) tenglamadan bundan
(13)
bo’lgani uchun
(13) koordinata boshidan utuvchi parabolalar oilasini beradi. Koordinata boshidan xamda intigiral chiziqlar uqiga urinib utadi.
Xakikatdan xam

(3) sistema esa

(0,0) nuqta tugun tipidagi maxsus nuqta integiral chiziqlar bunday xolda
tekisligidan yukoridagidek joylashgan bo’ladi.
bo’lgani uchun (3) sistemaning trayektoriyalari da ga intiladi.