2-mavzu. Sonli ketma-ketliklarlar va uning limiti

2-mavzu. Sonli ketma-ketliklarlar va uning limiti
Aytaylik, bizga haqiqiy sonlardan tuzilgan cheksiz ketma-ketlik berilgan bo’lsin. Har bir haqiqiy son uchun shunday natural son mavjud bo’lib, va orasidagi masofa barcha larda dan kichik bo’lsa, ya’ni
bo’lsa, u holda ko’rinishida yozamiz.
Ketma-ketlik limitga ega deymiz.
Masalan, ketma-ketlik limitga egaligini oson ko’rish mumkin ( berilgan uchun deb tanlaymiz). Boshqa misol sifatida ni ga eng yaqin butun qismi deb olsak, quyidagi cheksiz ketma-ketlik hosil bo’ladi:

ligini keltirib chiqarishga harakat qiling. ¹
Agar har bir haqiqiy son uchun shunday natural mavjud bo’lsaki, barcha larda bajarilsa, deb yozamiz. Shuni e’tiborga olish kerakki, biz oldingi ta’rifdagidek, ni o’rniga ishlatishimiz kerak, odatda, analizda Grek harflari va lar “juda kichik miqdor” sifatida qaraladi.
Aytaylik, bizga cheksiz haqiqiy sonlardan iborat shunday ketma-ketlik berilgan bo’lsinki, har bir bir haqiqiy son uchun shunday natural son mavjud bo’lib, va orasidagi masofa barcha larda dan kichik bo’lsin, ya’ni
.
Biz bu ketma-ketlikni yaqinlashuvchi deymiz. Bunday ketma-ketliklar zamonaviy limitlar nazariyasi, cheksiz kichik miqdorlar va boshqa shu kabi tushunchalar asoschisi fransuz matematigi Avgustin Luiz Koshi (1789-1857) sharafiga Koshi ketma-ketliklari deb ataladi.²
Teorema 7.1.
Ixtiyoriy va haqiqiy sonlari uchun uchburchak tengsizligi:
.
Shuni e’tiborga olish kerakki, bu tengsizlik vektor fazolar uchun uchburchak tengsizligiga o’xshash, haqiqatdan ham fazo bir o’lchovli fazoning o’zi ekanligini tekshirib ko’rishingiz mumkin.
Isboti. Teorema haqiqatdan to’g’riligi tenglikdan kelib chiqadi, ya’ni agar va bir xil ishorali bo’lsa, yoki ulardan hech bo’lmaganda biri 0 ga teng bo’lsa. Agar va bo’lsa, lekin bo’lsa, u holda bo’ladi; shunga o’xshash, va bo’lsa, lekin bo’lgan hol isbotlanadi. Agar va bo’lsa, lekin bo’lsa, u holda bo’ladi; shunga o’xshash va bo’lsa, lekin bo’lgan hol isbotlanadi.
Teorema 7.2.
Haqiqiy sonlardan iborat ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo’lishi uchun shunday haqiqiy soni mavjud bo’lib, bo’lishi zarur va yetarli. ³
Isboti. Aytaylik, ketma-ketlik ga yaqinlashsin va har bir
uchun ni qanoatlanadigan qilib tanlaylik. Uchburhak tengsizligiga ko’ra:
, . Bu esa ni Koshi ketma-ketligi ekanligini bildiradi.
Endi aytaylik, Koshi ketma-ketligi bo’lsin. Oson ko’rsatish mumkinki, yuqoridan qandaydir bilan chegaralangan. U holda har bir qism ketma-ketlik Koshi ketma-ketligi bo’ladi va yuqoridan bilan chegaralangan. Haqiqiy sonlar to’plamining to’laligiga ko’ra, har bir eng kichik yuqori chegara ga ega. Bundan tashqari, ketma-ketlik o’suvchi; ya’ni dan kelib chiqadi, chunki - uchun yuqori chegara, lekin eng kichik yuqori chegara emas. Demak, to’plam yuqori chegara ga ega, demak, u eng kichik yuqori chegara ga ega. Endi ni ko’rsatamiz.
uchun ketma-ketlik uchun yuqori chegara emasligini e’tiborga olsak, bundan bo’ladigan shunday mavjdligi kelib chiqadi. Biroq barcha lar uchun . Bundan esa barcha lar uchun ligi kelib chiqadi. Bu esa ning Koshi ketma-ketligi ekanligini bildiradi va u ga yaqinlashadi. Endi esa berilgan uchun ni barcha lar uchun bajariladigan qilib tanlaymiz va bajariladigan qilib ni tanlaymiz.
Demak, . Endi ni barcha lar uchun bajariladigan qilib tanlaymiz. So’ng lar uchun . Shu bilan isbot tugadi.