2-mavzu. Sonli ketma-ketliklarlar va uning limiti

7.2. R da kompaktlik va uzluksizlik
Teorema 7.3.
Haqiqiy sonlar to’plamida lokal kompaktlik: Aytaylik, chegaralangan yopiq intervallar to’plami bo’lsin, bunda barcha lar uchun bo’lsin. U holda to’plam bo’sh bo’lmagan kesishmaga ega bo’ladi, ya’ni mavjud bo’ladi, ya’ni Agar ixtiyoriy ketma-ketlik uchun bo’lganida bo’lsa, u holda funktsiya nuqtada uzluksiz deyiladi. nuqtadagi uzluksizlikni boshqacha ta’rifi: har bir uchun shunday mavjud bo’lsaki, barcha lar uchun da bo’lishi. Boshqacha qilib aytganda, ga yaqin turganda, ga yaqin turadi. ⁴
Teorema 7.4.
Aytaylik, va bo’lsin.

1. 
   Agar va lar da uzluksiz bo’lsa, u holda va lar ham da uzluksiz bo’ladi.
   
2. 
   Agar va lar da uzluksiz bo’lsa va bo’lsa, u holda ham da uzluksiz bo’ladi.
   
3. 
   O’zgarmas funktsiya hamma joyda uzluksiz bo’ladi.
   
4. 
   Chiziqli funktsiya hamma joyda uzluksiz bo’ladi.
   
5. 
   Ko’phad funktsiya hamma joyda uzluksiz bo’ladi.
   
6. 
   Ko’phadning bo’linmasi ma’nosidagi ratsional funktsiya maxrajdagi ildizdan boshqa barcha nuqtalarda uzluksiz bo’ladi.
   

uchun ni yopiq interval deb ataymiz.

Quyidagi teoremaga ega bo’lamiz:
Teorema 7.5.
O’rta qiymat haqidagi teorema: Aytaylik, funktsiya intervalning barcha nqtalarida uzluksiz bo’lib, bo’lsin, u holda qandaydir mavjud bo’lib, bo’ladi.⁵

Teorema 7.6.
Boltsano –Veyershtrass teoremasi. Aytaylik, ketma-ketlik intervaldagi haqiqiy sonlar ketma-ketligi bo’lsin. U holda shunday va ga yaqinlashuvchi ( ning qism ketma-ketligi mavjud bo’ladi.
Isboti. Faraz qilaylik, ketma-ketlikning eng kichik yuqori chegarasi bo’lsin. U holda bo’ladi va -sekin o’sib boruvchi ketma-ketlik bo’ladi ( ya’ni u kamaymaydi, lekin doim o’sib boruvchi bo’lmaydi). Aytaylik, shu ketma-ketlikning eng kichik yqori chegarasi bo’lsin. U holda bo’ladi. Buni ko’rish uchun deb tanlash lozim. U holda shunday mavjud bo’ladiki, bo’ladi, ya’ni barcha larda bo’ladi. Bu esa ni bildiradi. Teorema isbot bo’ldi.