20. Turli ko`rinishda berilgan funksiyalarning hosilalari a Murakkab funksiyaning hosilasi

Lagranj teoremasini ba`zi bir tengsizliklarni isbotlashda qo`llash mumkin. Masalan, Bernulli tengsizligi  va  da o`rinli ekanligi isbotlansin.

1-hol. x bo`lsin. Unda , funksiya uchun Lagranj teoremasiga ko`ra nuqta topiladiki
 bo`ladi 
2-hol.-1x0 bo`lsin. Unda , funksiya uchun Lagranj teoremasini qo`llaymiz.  .
3-hol x bo`lsin. Unda bo`ladi. Endi 3 ta holni umumlashtirsak, isbot qilishimiz kerak bo`lgan Bernulli tengsizligini hosil qilamiz.
4-Teorema (Koshi teoremasi). Agar

1. 
   ,
   
2. 
   uchun chekli va - hamda bo`lsa, unda nuqta topiladiki,
   

tenglik o`rinli bo`ladi.
6⁰. Aniqmasliklarni ochish. Lopital qoidalari
2-§ da ko`rganimizdek funksiya limitini hisoblashda biz , , va shu kabi aniqmasliklarga duch keldik. Bu aniqmasliklarni ochishda Lopital qoidalari katta yordam beradi.
Teorema. va funksiyalar uchun quyidagi shartlar o`rinli bo`lsin.

1. 
   va funksiyalar a nuqtaning biror atrofida aniqlangan va chekli hosilaga ega,
   
2. 
   ,
   
3. 
   a nuqtaning shu atrofida ,
   
4. 
   -chekli yoki cheksiz.
   

U holda

tenglik o`rinli bo`ladi.
Izoh: Agar bu teoremaning shartlari a nuqtaning chap (yoki o`ng) yarim atrofida bajarilsa, unda teorema ning a nuqtadgi chap (yoki o`ng) limitiga nisbatan o`rinli bo`ladi.
Yuqoridagi ko`rinishidagi aniqmasliklar uchun keltirilgan Lopital teoremasi ko`rinishidagi aniqmasliklar uchun ham o`rinli bo`ladi. Boshqa ko`rinishdagi aniqmasliklar esa va ko`rinishidagi aniqmasliklarga keltiriladi.