21 §. Koren shegaraları. Shturm teoremasi

21. 5-teorema (Shturm teoremasi). Eger hám , haqıyqıy sanlar márteli Korenlerge iye bolmaǵan kóp aǵzalılardıń Korenleri bolmasa, ol halda bolıp, ayırma kóp aǵzalılardıń (a,b) aradaǵı haqıyqıy Korenleri sanına teń boladı.
Tastıyıq. Teoremani tastıyıqlaw ushın W(x) sanı x artıp barıwı
menen qanday ózgeriwin anıqlap shıǵamız. Ayqınki, x dıń
Bunı itibarǵa alǵan halda, x dıń ma`nisi qandayda bir , kóp aǵzalılardıń Koreninen hám berilgen f(x) kóp aǵzalılardıń Koreninen ótken hallardı qaraymız.
Aytaylik, a sanı , kóp aǵzalılardıń Koreni bolsın. Ol halda, 1) shártga kóre hám kóp aǵzalılar noldan ayrıqsha. Sonday eken, a sanınıń qandayda bir átirapında da hám
kóp aǵzalılar Korenlerge iye emes. Sol sebepli bul kóp aǵzalılar berilgen átirapda óz belgilerin saqlaydı, hám de 3) shártga kóre olar túrli belgili boladı. Bul mannan tómendegi sanlı sistemalar

Ham

Bir belgi almaslawǵa iye ekenligi kelip shıǵadı. Haqıyqatlıqtan da, eger bolsa bolıp, sanınıń belgisinen qaramastan (21. 3) sistemanıń belgi almasıwlar sanı birge teń boladı. Tap sonday, (21. 4)
sistemanıń belgi almasıwlar sanı da birge teń.
Sonday eken, x sanı kóp aǵzalılardıń Shturm sisteması daǵı qandayda-bir aralıq
kóp aǵzalılardıń Koreninen ótkende belgi almasıwlar sanı ózgermeydi.
Sol sebepli, bunday ótiwde W(x) sanı da ózgermeydi.
Endi x dıń ma`nisi berilgen f(x) kóp aǵzalılardıń Koreninen ótken
holni qaraymız. Aytaylik, a sanı berilgen f(x) kóp aǵzalılardıń Koreni
bolsın. 1) shártga kóre a sanı kóp aǵzalılardıń Koreni emes.
Sol sebepli qandayda bir aralıqta kóp aǵzalılar Korenge iye
emes. Sonday eken, bul aralıqta kóp aǵzalılardıń belgisi ózgermeydi.
Eger bul belgi oń bolsa, 4) shártga kóre f(x) kóp aǵzalılardıń argumenti a den ótkende onıń belgisi teristen ońǵa ózgeredi, yaǵnıy hám .
Ol halda tómendegi

hám

sanlar sistemalar belgileri
-,+ hám +,+
kórinislerde boladı. Sonday eken, bul jaǵdayda Shturm sistemasında bir belgi almaslaw joǵaladı.
Tap sonday, egerde aralıqta kóp aǵzalılardıń belgisi teris bolsa, ol halda taǵı 4) shártga kóre
hám. Bul jaǵdayda tómendegi belgiler sisteması payda bolıp,
+,- ham -,-
Bunda da Shturm sistemasında bir belgi almaslawı joǵaladı.
Sonday etip, W(x) sanı, onıń argumenti artıp barıp,
F(x) kóp aǵzalılardıń Koreninen ótkenidagina ózgerip, birge azayadı,
qalǵan jaǵdaylarda bolsa, ózgeriwsiz qaladı. 
Shturm teoremasidan usıdan ayqın boladı, márteli Korenlerge iye
bolmaǵan f(x) kóp aǵzalılardıń haqıyqıy Korenleri sanın tabıw ushın a retinde teris Korenlerdiń tómen shegarasın, b retinde bolsa oń Korenlerdiń joqarı shegarasın alıw jetkilikli.
Biraq, berilgen kóp aǵzalılardıń Korenleri chegalararini tapmastán turıp, a hám b sanları ornına uyqas túrde jetkiliklishe kishi teris hám jetkiliklishe úlken oń sanlardı alıw tezirek nátiyje beredi. Sebebi, jetkiliklishe úlken oń sanda Shturm sistemasınıń barlıq kóp aǵzalıları belgileri olardıń úlken hadlari belgileri menen ústpe-úst túsedi.
Shártli túrde jetkiliklishe kishi teris hám jetkiliklishe úlken
oń sanlardı hám sıyaqlı belgileymiz. Sonday eken, aralıqta
Shturm teoremasini qollap, f(x) kóp aǵzalılardıń haqıyqıy Korenleri sanın
anıqlaymız. Teoremani hám aralıqlarǵa qollap bolsa, berilgen kóp aǵzalılardıń oń hám teris Korenleri sanın tabıw múmkin.
Mısal 21. 4. -3 kóp aǵzalılar ushın
Shturm usılın qollap, h(x) onıń Korenleri sanın tabıń.
Shturm teoremasini qóllaw ushın kóp aǵzalılar márteli
Korenlerge iye bolmawi kerek. Lekin biz bunı bólek tekserip
o'tirmaymiz, sebebi, Shturm sistemasın qurıw processinde bul
kóp aǵzalılar jáne onıń tuwındı óz-ara tubligini da tekseriledi. Sonıń
ushın berilgen kóp aǵzalılar ushın Shturm sistemasın quramız :

bolǵanlıǵı ushın h(x) hám h’(x) kóp aǵzalılar óz-ara
túpkilikli. Sonday eken, h(x) kóp aǵzalılar márteli Korenlerge iye emes. Bul
kóp aǵzalılardıń hám jaǵdaylardaǵı belgilerin anıqlaymız.
Onıń ushın tek ǵana kóp aǵzalılardıń úlken koefficiyentleri
belgilerine hám kóp aǵzalılardıń dárejelerine qaraw jetkilikli:

	h(x)						Belgi almaslaw sanı
	-	+	-	-	+	-	4
	+	+	+	-	-	-	1

Sonday eken, berilgen h(x) kóp aǵzalılar 3 haqıyqıy Korenge iye. Bunnan tısqarı

	h(x)						Belgi almaslaw sanı
0	-	-	+	+	-	-	2

Ekenliginen h(x) kóp aǵzalılardıń eki teris hám bir oń Korenlerge

egaligi kelip shıǵadı.