21 §. Koren shegaraları. Shturm teoremasi

21. 3-ańlatpa. Haqıyqıy koefficiyentli noldan ayrıqsha shekli
Kóp aǵzalılar sisteması ushın tómendegi shártler orınlı bolsa, ol halda bul
F(x) kóp aǵzalılar kóp aǵzalılar ushın Shturm sisteması dep ataladı :
1) kóp aǵzalılar sistemasınıń qońsılas kóp aǵzalıları ulıwma
Korenlerge iye emes;
2) Aqırǵı kóp aǵzalılar haqıyqıy Korenge iye emes;
3) Eger a sani qandayda bir kóp aǵzalılardıń haqıyqıy
Koreni bolsa, ol halda hám kóp aǵzalılar túrli belgili
boladı ;
4) Eger a sanı f(x) kóp aǵzalılardıń haqıyqıy Koreni bolsa, ol halda
kóbeyme x ósip a noqattan ótkende belgisin teristen ońǵa ózgertiredi.
21. 4-teorema. Márteli Korenlerge iye bolmaǵan haqıyqıy koefficiyentli ihtiyoriy f(x) kóp aǵzalılar Shturm sistemasına iye.
Tastıyıq. Teorema tastıyıqın 21. 3-ańlatpa shártlerin qánaatlantiruvchi
kóp aǵzalılar sistemasın qurıw usılı járdeminde keltiremiz. Onıń ushın dep alamız.
Atap ótiw kerek, hám kóp aǵzalılar ushın
21. 3-ańlatpaning 4)
shárti atqarıladı. Haqıyqatlıqtan da, eger a sanı berilgen f(x) kóp aǵzalılardıń haqıyqıy Koreni bolsa, ol halda Eger bolsa, ol halda a noqattıń qandayda bir átirapında da boladı.
Sonday eken, f(x) kóp aǵzalılar a noqattıń átirapında o'suvchi boladı. Bunnan kóbeyme x den ótkende teris belgin ońǵa almastırıwı kelip shıǵadı. Tap soǵan uqsap, eger bolsa, a noqattıń qandayda bir átirapında hám f(x) kóp aǵzalılar kemeyıwshi boladı. Sonday eken, bul jaǵdayda da kóbeyme
den ótkende teris belgin ońǵa almastıradı. kóp aǵzalılardı anıqlaw ushın ni ga qaldıqlı bolıp, qaldıqtı -1 ge kóbeymesin alamız. Yaǵnıy,

Bul processni dawam ettirip, kóp aǵzalılardı kóp aǵzalılarǵa
qaldıqlı bolıp, qaldıqtı -1 ge kóbeymesin sıyaqlı belgileymiz,
yaǵnıy

F(x) hám kóp aǵzalılarǵa qollanǵan usıl Yevklid algoritmınan tek qaldıqtıń teris belgisi menen alınıwıgagina parıq etedi. Yevklid algoritmında belginı almastırıw EUUB tabıwǵa tásir etpegenligi ushın, biz bul process arqalı f(x) hám kóp aǵzalılardıń EUUBini payda etemiz. Bul kóp aǵzalılar óz-ara túpkilikli bolǵanlıǵı sebepli, kóp aǵzalılar noldan ayrıqsha bolǵan qanday da san boladı. Sonday eken,
kóp aǵzalılar sisteması 21. 3-ańlatpaning 2) shártini qánaatlantıradı, yaǵnıy kóp aǵzalılar haqıyqıy Korenge iye emes.
Bul kóp aǵzalılar ushın 1) shárt orınlanıwın kórsetiw ushın
hám qońsılas kóp aǵzalılar ulıwma a Korenge iye bolsın
dep shama menen oylaymız. Ol halda (21. 2) teńlikten a Koren kóp aǵzalılar ushın da Koren bolıwı kelip shıǵadı. Tómendegi
teńlikten bolsa, a sanı kóp aǵzalılar ushın da Koren bolıwın payda etemiz. Bul processni dawam ettirsak, a sanı f(x) hám kóp aǵzalılarınıń ulıwma Koreni boladı. Bul bolsa tastıyıq shártine qarsı.
Sonday eken, hám qońsılas kóp aǵzalılar ulıwma Korenge iye emes.
Aqır-aqıbetde, 3) shártning orınlanıwı (21. 2) teńlikten tikkeley kelip
shıǵadı, sebebi, eger ol halda
Endi kóp aǵzalılardıń Shturm sisteması onıń haqıyqıy Korenleri
sanın tabıwda qanday qollanılıwın kórsetemiz. Onıń ushın
daslep berilgen sanlar izbe-izligi ushın belgi almasıwlar sanı
túsinigin kiritip alamız. Yaǵnıy nolden ayrıqsha bolǵan shekli
tártiplengen sanlar sistemasında neshe márte túrli hil belgili sanlar
qasında keliwin sanap, bul sannı belgi almasıwlar sanı dep
alamız.
Mısalı;

Tártip menen bul sanlardıń belgilerin jazıp alamız :

Bul sistemada 4 márte óz-ara keri belgiler yonmayon kelgenin kóriw qıyın emes. Sonday eken, tártiplengen sanlar
sistemada 4 belgi almaslawı bar.
Aytaylik, kóp aǵzalılardıń Shturm sisteması berilgen bolıp, haqıyqıy sanı kóp aǵzalılardıń Koreni bolmaydıin. Tómendegi haqıyqıy sanlar sistemasın alıp,

bul sanlar izbe-izliginen nolge teń bolǵan sanlardı óshirip taslaymiz. Payda bolǵan sanlar izbe-izliginiń belgi almasıwları sanın W(c) sıyaqlı belgileymiz
Bul W(c) sanı kóp aǵzalılar ushın x=c jaǵdayda berilgen Shturm sisteması daǵı belgi almasıwlar sanı dep ataladı.