21. Nol o’lchamli topologik fazolar

24.Zariskiy topologik fazosi



\
Misol 1.2.2. Zariskiy topologiyasi. Bizga cheksiz elementlardan iborat bo’lgan X to’plam berilgan bo’lsin. τ bilan bo’sh to’plamni ∅ va to’ldirmasi chekli X U bo’lgan ochiq U to’plamlardan iborat bo’lgan oilani belgilaymiz. Osongina tekshirish mumkinki, τ oila X to’plamda topologiya tashkil qiladi. Bu topologiyaga Zariskiy topologiyasi deyiladi. X to’plam τ Zariskiy topologiyasi bilan birgalikda Zariskiy fazosi deyiladi

∈ ⊂

⊂
Tasdiq 1.2.1. V X to’plam ochiq bo’lishi uchun ixtiyoriy x V nuqtasi shunday Ux atrofga ega bo’lib Ux V shartning bajarilishi zarur va etarlidir.

∈
Isboti. Zarurligi. V to’plam X da ochiq bo’lsin. U holda x V nuqta uchun Ux = V deb olamiz.

⊂

∈

^S { ∈ }
Etarliligi. Agar ixtiyoriy x V nuqta uchun shunday Ux atrof topilib, Ux V shart bajarilsa, u holda (О3) shartga asosan V = Ux : x V to’plam ham X fazoda ochiq bo’ladi. Tasdiq 1.2.1 isbotlandi.
Endi yopiq to’plam tushunchasini kiritamiz.

⊂ \
Ta’rif 1.2.2. Bizga (X, τ ) - topologik fazo berilgan bo’lsin. To’plam F X yopiq deyiladi, agar uning to’ldirmasi X F - ochiq to’plam bo’lsa.
Bizga ma’lumki, topologiya (О1) - (О3) shartlarini qanoatlantiruvchi barcha to’plamlar ochiq edi. Uning to’ldirmasi ta’rif 1.2.2 ga asosan yopiq to’plam bo’ladi. Bu yopiq to’plamlar oilasini ξ bilan belgilaymiz. De Morganning ikkilik qonuniga asosan ξ oila quyidagi xossalarga ega bo’ladi:
(С1) X ∈ ξ va ∅ ∈ ξ shart bajariladi.

∈ ∈ ∪ ∈
(С2) Agar F₁ ξ va F₂ ξ, u holda F₁ F₂ ξ shart o’rinli bo’ladi.
(С3) Agar A ⊂ ξ bo’lsa, u holda ∩A ∈ ξ o’rinli bo’ladi. Yuqoridagi xossalarni quyidagicha ham yozish mumkin
(С1’) Butun fazo va bo’sh to’plam yopiq to’plam.
(С2’) Ikki yopiq to’plamning birlashmasi yana yopiq to’plam bo’ladi.
(С3’) Ixtiyoriy sondagi yopiq to’plamlarning kesishmasi yana yopiq to’plam bo’ladi.
Isboti. (С1’) xossaning isboti ravshan. (С2’) ning isboti de Morgan qonunidan kelib chiqadi. Haqiqatan ham, bizga yopiq to’plamlar oilasi ξ dan olingan ikki F₁, F₂ ∈ ξ yopiq to’plamlar berilgan bo’lsin. To’ldirma ta’rifiga ko’ra i = 1, 2 uchun U_i = X\F_i, i = 1, 2 ochiq to’plamlar bo’ladi.

∪ \ ∩
Quyidagini birlashmani qaraylik, F₁ ∪ F₂ = X\ (U₁ ∩ U₂), u holda ikkita ochiq to’plamninig kesishmasi U₁∩U₂ - ochiq to’plam bo’lganligidan, to’ldiruvchi F₁ F₂ = X (U₁ U₂) to’plamning yopiq ekanligi kelib chiqadi.
(С3’) Bizga yopiq to’plamlar oilasi {F_α : α ∈ A } berilgan bo’lsin. To’dirma ta’rifiga ko’ra, har bir α ∈ A uchun U_α = X\F_α to’plam ochiq bo’ladi. Quyidagi kesishmani qaraylik,

∩ { ∈ }
∩ {F_α : α ∈ A} = ∩ {X\U_α : α ∈ A } = X\ (∪ { U_α : α ∈ A }). U holda (О3) shartga asosan ∪ { U_α : α ∈ A } to’plam ochiq bo’ladi. Bundan F_α : α A to’plamning yopiq ekanligi kelib chiqadi.
Ta’rif 1.2.3. Agar to’plam topologik fazoda bir vaqtda ham ochiq ham yopiq bo’lsa u holda bunday to’plamga ochiq-yopiq to’plam deyiladi.

10¹⁰ Willard S. General Topology. Mineola, New York 1998, pp. 191-222.