21. Nol o’lchamli topologik fazolar

2.4.4-teorema. kesma bog‘lamlidir.
Isboti. Buning aksini faraz qilamiz, ya’ni kesma bog‘lamli bo‘lmasin. U holda kesmani ikkita bo‘sh bo‘lmagan kesishmaydigan ochiq to‘plamlar birlashmasi sifatida ifodalash mumkin. Ya’ni, . va lar ochiq to‘plamlar. Aytaylik, . Shuni aytish kerakki, va to‘plamlar da yopiqdir, chunki kesmaning o‘zi da yopiq bo‘lganligi sababli to‘plam bo‘sh emas, chunki . Agar bo‘lsa, yopiq to‘plam bo‘lgani uchun son yuqori chegara bo‘lganligi sababli ixtiyoriy uchun . Bundan ko‘rinadiki, nuqta uchun tegish nuqtasidir. Ya’ni, , ning yopiq ekanligidan . Bu ni bildiradi. Bu ziddiyat ning yopiq ekanligini isbotlaydi. Demak, kesma bog‘lamli ekan.
Eslatma. Keltirilgan 2.2.4-teoremadan va 2.4.2-misoldan ma’lum bo‘lmoqdaki, fazoning yoki fazoostining bog‘lamli bo‘lishi yoki bo‘lmasligi unda qaralayotgan topologiyaga bog‘liq ekan.


22. [a,b] kesmaning kompakt ekanligini ko’rsating.
2.7.11-teorema. Sonlar to‘g‘ri chizig‘i da ixtiyoriy kesma kompaktdir.
Isbot. To‘g‘ri chiziq da kesmani olaylik va ning ixtiyoriy ochiq qoplamasi bo‘lsin, bu yerda ixtiyoriy uchun – ochiq to‘plamlardir. Endi bu qoplamaning chekli qoplamaostisi mavjudligini ko‘rsatamiz, agar sistemaning yopiq kesmani qoplovchi chekli sistemaostisi mavjud bo‘lsa Bu holda kesmaning nuqtasini belgilangan deymiz. Barcha belgilangan nuqtalar to‘plamini bilan belgilaymiz.
Ma’lumki, nuqta belgilangan nuqtadir, ya’ni . Bu yerda . Endi nuqtani olaylik. nuqtaning belgilangan ekanligini ko‘rsatamiz, ya’ni . Agar bo‘lsa, u holda ning ochiq to‘plam ekanligi tufayli shunday topiladiki, u uchun va kesma butunlay da yotadi. nuqtaning belgilangan ekanligidan sistemaning shunday chekli qism sistemasi topiladiki, bu qism sistema kesmani qoplaydi. Shu sababli qism sistema ni qoplaydi. Demak,
Endi biz ning kesma ikkinchi uchi bilan ustma-ust tushishini ko‘rsatishimiz kerak. Faraz qilaylik, . U holda to‘plamning ochiq ekanligidan shunday topiladiki, uning uchun . Binobarin, qism sistema elementlari birlashmasi ni qoplaydi. Bundan . Bu esa, ga ziddir.