25-ma’ruza. Ikki kаrrаli intеgrаlning tatbiqlаri. Ikki kаrrаli intеgrаl yordamida yuza va jism hajmini hisoblash. Massa, Oʻrta qiymat va inersiya momenti

4-shakl

Yechish. Berilgan soha Ox oʻqiga simmetrik boʻlganligi sababli , boladi. ni topamiz. Berilgan soha yuzini hisoblaymiz

U holda, (25.7) formuladan foydalanamiz

5-misol. Sirt zichligi boʻlgan, Ox oʻqi , parabola va toʻg‘ri chiziq bilan chegaralangan egri chiziqli uchburchakdan iborat D yassi jism massasini hisoblang.

Yechich. Yassi jism massasini hisoblash uchun dastlab D sohani aniqlaymiz:

(25.5) formulaga koʻra,

6-misol. zichlikka ega boʻlgan, egri chiziqlar bilan chegaralangan va I chorakda joylashgan yassi jismning koordinata oʻqlariga nisbatan inersiya momentlarini toping.

Yechish. Berilgan D yassi jism 5-shaklda tasvirlangan.

5-shakl

(25.8) formulalarga koʻra quyidagiga egamiz:

Bu integrallarni qutb koordinatalariga oʻtib hisoblash qulay:

egri chiziqning qutb koordinatalaridagi tenglamasi:

,

egri chiziqning qutb koordinatalaridagi tenglamasi:



U holda burchak dan gacha oʻzgaradi. kesmadan olingan ning har bir qiymatida oʻzgaruvchi dan gacha oʻzgaradi.

Ketma-ket (25.8) formuladan foydalanib, quyidagiga ega boʻlamiz:

Oʻxshash holda quyidagini topamiz: