25-ma‘ruza. Mavzu: Oddiy differensial tenglamalar Reja

1. Bernulli usuli. Bunda umumiy yechimni ikkita u(x) va 



(x) noma’lum 

funksiyalarning kо‘paytmasi shaklida izlanadi, ya’ni y=u(x)



(x). 

Bunday shaklda izlash natijasida, ya’ni bita noma’lum о‘rniga ikkita noma’lum 

kiritilganligi  sababli,  ulardan  birini  ixtiyoriy  tanlash  imkoni  paydo  bо‘ladi. 

Oxirgini differensiallab, 

u



=u



+u



 

ga ega bо‘lamiz. Buni e’tiborga olsak, (14.4.14) tenglamning kо‘rinishi 

u



+u



+P(x)u



=Q(x)  

u(



+P(x)



)+u



=Q(x)   

 

 

(17) 

bо‘ladi.  Noma’lum  funksiyalardan  birini,  masalan 



  ni  ixtiyoriy  tanlash 

mumkinligidan  foydalanib,  uni 



(x)+P(x)



(x)  =0,    x



J  tenglik  bajariladigan 

qilib, ya’ni 



(x) (15)ning yechimidan iborat qilib tanlaymiz. 

Demak,  







dx

x

P

e

)

(



   

 

 

(18) 

deb olsak, bо‘ladi. ((16)da c=1 deb faraz qilingan holda). 



  ning    bu  ifodasini  (17)  tenglamaga  qо‘ysak,  u  funksiyaga  nisbatan  quyidagi 

tenglamaga ega bо‘lamiz: 





dx

x

P

e

x

Q

dx

du

)

(

)

(

 

Bu oxirgi tenglamaning umumiy integrali 









c

dx

e

x

Q

u

dx

x

P

)

(

)

(

 

 

 

 

(19) 

bо‘ladi.  (18)  va  (19)  formulalar  bilan  aniqlangan  u  va 



  larning  ifodasini 

yuqoridagi qilingan almashtirishga qо‘ysak, berilgan (14) tenglamaning umumiy 

yechimini hosil qilamiz, ya’ni 





















c

dx

e

x

Q

e

y

dx

x

P

dx

x

P

)

(

)

(

)

(

 

 

 

 

(20) 

bu yerda c ixtiyoriy о‘zgarmasdir. 

2.  Ixtiyoriy  о‘zgarmasni  variatsiyalash  (Lagranj)  usuli.  Bu  usul 

quyidagidan iborat, ya’ni (14) tenglamaning umumiy yechimini (16) formuladagi 

ixtiyoriy C о‘zgarmasni biror differensiallanuvchi z(x) noma’lum funksiya bilan 

almashtirib, 







dx

x

P

e

x

z

y

)

(

)

(

 

 

 

 

 

(21) 

kо‘rinishda izlaymiz. Bu (21) funksiya (14) tenglamaning yechimi bо‘lishi uchun 

u berilgan tenglamani qanoatlantirishi kerak. Bu funksiyaning hosilasini topamiz: 

.

)

(

)

(

)

(

)

)

(

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

x

P

e

x

z

e

x

z

dx

x

P

e

x

z

e

x

z

y

dx

x

P

dx

x

P

dx

x

P

dx

x

P







































 

y va y



 larning ifodalarini (14) tenglamaga qо‘yib, z(x) funksiyani aniqlash uchun 

quyidagi munosabatni hosil qilamiz: 

 

 







dx

x

P

e

x

Q

x

z

)

(

 

Oxirgi munosabatni har ikki tomonini integrallab, 

const

c

c

dx

e

x

Q

x

z

dx

x

P











,

)

(

)

(

)

(

 

ni olamiz va buni (14.4.21)ga qо‘yib, (14.4.20) formulaga kelamiz. 

5-misol. Ushbu 

x

y

x

y

ln

1







tenglamaning umumiy yechimi topilsin. 

Yechish. Berilgan tenglamani (14) bilan solishtirib,  

)

;

0

(

,

ln

)

(

,

1

)

(









x

x

x

Q

x

x

P

 

ekanligini olamiz. Endi (14.4.20) formula yordamida differensial tenglamaning 

umumiy yechimini topamiz.  









x

c

x

x

x

c

x

x

x

x

c

dx

x

x

x

c

dx

e

x

e

c

dx

e

x

e

y

x

x

x

dx

x

dx









































































4

ln

2

4

ln

2

1

ln

1

ln

ln

2

2

ln

ln

 

Demak, berilgan differensial tenglamaning umumiy yechimi 

)

;

0

(

,

4

ln

2











x

x

c

x

x

x

y

bо‘lib, bu yerda c ixtiyoriy о‘zgarmasdir. 

 

8. Bernulli tenglamasi 

 

Ushbu  

y



+P(x)y=Q(x)y

n 

 

 

 

 

(22) 

kо‘rinishdagi tenglamaga Bernulli tenglamasi deyiladi. Bunda n



R va n



0, n



1 

deb faraz qilamiz. Bu yerda P(x) va Q(x) funksiyalar biror J intervalda aniqlangan 

va  uzluksiz  funksiyalardir.  Bu  tenglamani  quyidagi  almashtirish  yordamida 

chiziqli  tenglamaga  keltiriladi:  (22)  tenglamaning  har  ikki  tomoni  y

-n

  ga 

kо‘paytiramiz, ya’ni 

y



 y

-n

+P(x) y

1-n

=Q(x) 

 

 

 

(23) 

Endi z= y

1-n

 almashtirishni bajaramiz. U holda  

n

n

y

y

n

z

y

y

n

z























1

)

1

(

 

Bu  munosabatlarni  (23)  tenglamaga  qо‘ysak,  z  ga  nisbatan  chiziqli  oddiy 

differensial  tenglama hosil bо‘ladi: 

)

(

)

1

(

)

(

)

1

(

)

(

)

(

1

x

Q

n

z

x

P

n

z

x

Q

z

x

P

n

z





















 

Bu  tenglamadan  z=z(x,c)  umumiy  yechimini  topgan  holda  Bernulli 

tenglamasining umumiy integralini aniqlaymiz: 





n

c

x

z

y





1

1

)

,

(

 

Izoh.  Bernulli  tenglamasini  Bernulli  va  Lagranj  usullari  yordamida  ham 

yechish mumkin.  

 

6-misol. Ushbu 

2

1

xy

y

x

y







 tenglamaning umumiy yechimini toping. 

Yechish. Berilgan tenglamani y

2

 ga bо‘lib, uni 

x

y

x

y

y











1

2

1

 kо‘rinishda 

yozib, z=y

-1

 almashtirishni bajarsak, 

z



=-y

-2

y



 

bо‘ladi. Buni e’tiborga olsak: 

x

z

x

z









1

 

chiziqli tenglamaga ega bо‘lamiz. Bu tenglamaning umumiy integrali (14.4.20) 

formulaga  asosan  z=(c-x)x  bо‘ladi.  Belgilashga  asosan  berilgan  differensial 

tenglamaning quyidagi umumiy yechimini olamiz: 

c

x

x

x

c

x

y









,

0

,

)

(

1

 

bu yerda c ixtiyoriy о‘zgarmasdir. 

 

Berilgan  tenglamani  y

2

  ga  bо‘lish  natijasida  y=0  yechim  yо‘qotildi. 

Tekshirib kо‘rish natijasi va bu yechimni umumiy yechimdan c о‘zgarmasning 

hech  bir  qiymatida  olib  bо‘lmasligi  buni  tasdiqladi.  Demak,  y=0  berilgan 

tenglamaning maxsus yechimidir. 

 

9. Lagranj tenglamasi 

 

Bu tenglama  

y=x



(y



)+



(y



) 

 

 

 

(24) 

kо‘rinishga ega bо‘lib, 



 va 



 lar biror J oraliqda differensiallanuvchi funksiyalar 

deb faraz qilinadi. Bu tenglama yordamchi parametr kiritish usuli bilan yechiladi. 

Faraz qilaylik, 

y



=t   

 

 

 

(25) 

bо‘lsin. Buni (24)ga qо‘yib, 

y=x



(t)+



(t) 

 

 

 

(26) 

ni olamiz. Uni differensiallab, 

dx

dt

t

dx

dt

t

x

t

y

)

(

)

(

)

(



















 

ga, bundan (25) ni hisobga olgan holda, ba’zi bir elementar shakl almashtirishlar 

qilib, 

0

)

(

)

(

)

(

)

(















t

t

t

x

t

t

t

dt

dx









 

ga kelamiz, bu yerda 

 

0





t

t



 deb faraz qilindi. Oxirgi  x ga nisbatan chiziqli 

birinchi  tartibli  differensial  tenglamadir.  Uni  yechib, 

 

c

t

f

x

,



  ni  topamiz,  bu 

yerda  c  ixtiyoriy  о‘zgarmasdir.  Buni  va  (26)ni  e’tiborga  olsak,  (24)  Lagranj 

tenglamasining parametrik kо‘rinishdagi  













)

(

)

(

)

;

(

),

;

(

t

t

c

t

f

y

c

t

f

x





 

 

 

 

(27) 

umumiy yechimiga ega bо‘lamiz. Agar (27) sistemadan t parametrni yо‘qotsak 

(24)ning F(x,y,c)=0 kо‘rinishdagi umumiy integralini olamiz. 

Agar 



(t)-t ifoda aynan nolga teng bо‘lmay 



(t)-t=0 tenglama t

0

 ildizga ega 

bо‘lsa, berilgan Lagranj tenglamasi y=



(t

0

)x+



(t

0

)



 y=t

0

x+



(t

0

) 

yechimga ham egadir. 

7-misol. y=2xy



- y



2

 tenglamaning umumiy yechimi topilsin. 

Yechish. y



=t parametr kiritamiz. 

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2





























x

t

dt

dx

dx

dt

t

dx

dt

x

t

t

dx

dt

t

dx

dt

x

t

y

t

xt

y

 

Bu chiziqli differensial tenglamani yechib, 





2

3

2

2

2

2

2

3

2

3

2

1

2

1

2

t

с

t

c

t

t

c

dt

t

t

c

dt

e

e

x

dt

t

dt

t























































 

ni olamiz. Demak, parametrik kо‘rinishdagi 



























































t

c

t

y

t

c

t

x

t

t

t

c

t

y

t

c

t

x

2

3

1

,

3

2

3

2

2

,

3

2

2

2

2

2

2

. 

Lagranj tenglamasining yechimini oldik. Bu yerda t



0 deb faraz qilingandi. Agar 

t=0  desak  y=0  yechimni  ham  olamiz  va  bu  berilgan  tenglamaning  maxsus 

yechimidir. 

Lagranj tenglamasining 



(y



)= y



, ya’ni 



(t)-t



0 bо‘lgan 

y=xy



+



(y



)  

 

 

(28) 

holi  Klero  tenglamasi  deb  yuritiladi.  Buni  yechish  uchun  ham  y



=t  deb 

yordlamchi parametr kiritsak, 

y=xt+



(t)   

 

 

 

(29) 

bо‘lib, bundan  

0

))

(

(

)

(





















dx

dt

t

x

dx

dt

t

dx

dt

x

t

y





. 

Oxirgidan esa  

c

t

dx

dt







0

 yoki  x=-



 (t) yechimlarni olamiz. 

Topilganlarni (29) ga qо‘yib, 

y=cx+



(c)   

 

 

 

(30) 

Klero  tenglamasining  umumiy  integraliga  ega  bо‘lamiz,  bu  yerda  c-ixtiyoriy 

о‘zgarmas bо‘lib, u 



(t) funksiyaning aniqlanish sohasiga tegishli bо‘lishi talab 

qilinadi. Bundan tashqari (28) tenglama parametrik kо‘rinishdagi 





















)

(

)

(

),

(

t

t

t

y

t

x







   

 

 

 

(31) 

yechimga ham egadir. 

 

Oddiy differensial tenglamalar bо‘yicha bilimingizni sinab kо‘ring 

 

1.  Differensial tenglamaga olib keladigan birorta masalani keltiring. 

2.  Differensial tenglamani va uning tartibini ta’riflang. 

3.  Birinchi tartibli differensial tenglamaning umumiy yechimi haqida 

tushuncha bering. 

4.  Koshi masalasini tushuntiring. 

5.  Koshi masalasining yechimini mavjudligi haqidagi teoremani ayting. 

6.  Tо‘liq differensialli tenglamaning umumiy kо‘rinishini yozing. 

7.  Qanday shart bajarilganda differensial tenglama tо‘liq differensialli 

tenglama bо‘ladi? 

8.  O’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamaning umumiy 

kо‘rinishini yozing. 

9.  Birjinsli differensial tenglama qanday kо‘rinishga ega bо‘ladi? 

10. Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamaning umumiy 

kо‘rinishini yozing. 

11. Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamani yechishdagi Bernulli 

usulini tushuntiring. 

12. Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamani yechishdagi 

о‘zgarmasni variatsiyalash (Lagranj) usulini tushuntiring. 

13. Bernulli tenglamasini umumiy kо‘rinishini yozing.