25-ma‘ruza. Mavzu: Oddiy differensial tenglamalar Reja

1-ta’rif.  Agar  f(x,y)  funksiya  biror  ikki  о‘lchovli  D  sohada  aniqlangan 

bо‘lib, shunday  musbat  L>0 son  mavjud bо‘saki,  ixtiyoriy  (x,y

1

)



D,  (x,y

2

)



D 

nuqtalar  uchun    ushbu   



f(x,y

1

)-f(x,y

2

)





L



y

1

-y

2



 

 

  tengsizlik  bajarilsa,  u  vaqtda 

f(x,y)  funksiya  D  sohada  y  argumenti  bо‘yicha  Lipshic  shartini  qanoatlantiradi 

deyiladi. L>0 esa Lipshic о‘zgarmasi deb ataladi. 

 

(2) – (3) Koshi masalasining mavjudligi va yagonaligi haqidagi teoremani 

isbotsiz keltiramiz. 

 

1.-teorema  (Pikar teoremasi). Agar  f(x,y)  funksiya  D  sohada  aniqlangan 

va  uzluksiz  bо‘lib,  y  argumenti  bо‘yicha  Lipshic  shartini  qanoatlantirilsa,  u 

vaqtda shunday о‘zgarmas h>0 son topiladiki, (14.3.2) tenglamaning (x

0

,y

0

)



D 

bо‘lganda  (14.3.3)  boshlang‘ich  shartni  qanoatlantiradigan  va    J={x:x-x

0





  h} 

yopiq oraliqda aniqlangan yagona yechimi mavjud bо‘ladi. 

2  -teorema  (Peano  teoremasi).  Agar  f(x,y)  funksiya  D  yopiq  sohada 

aniqlangan va uzluksiz bо‘lsa, u holda D sohaning berilgan (x

0

,y

0

) nuqtasidan (1)  

tenglamaning kamida bitta integral chizig‘i о‘tadi. 

 

Bu teoremalar hosilaga nisbatan yechilgan differensial tenglamalar uchun 

keltirildi.  Xuddi  shunga  о‘xshash  teoremani  F(x,y,y



)=0  tenglama  uchun  ham 

keltirish mumkin. 

3-teorema.    F(x,y,z)  funksiya 





G

z

y

x



,

,

  sohada  quyidagi  shartlarni 

qanoatlantirsin: 

1)  F(x,y,z) funksiya  G sohada uzluksiz,  

2)   

z

F

y

F









,

 xususiy hosilalar G sohada uzluksiz; 

3) 

y

F





  xususiy  hosila  G  sohada  moduli  bо‘yicha  chegaralangan,  ya’ni 

0

,









M

M

y

F

; 

4) 

0







z

F

.  

U vaqtda shunday h>0 son mavjud bо‘ladiki, F(x,y,y



)=0 tenglamaning  

0

0

y

y

x

x





 boshlang‘ich shartni qanoatlantiradigan hamda  x

0

-h

0



x



x

0

+h  oraliqda 

aniqlangan yagona yechimi mavjud bо‘ladi. 

 Birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalarning eng sodda turlari 

 

Mazkur  bandda  birinchi  tartibli  oddiy  differensial  tenglamalarning 

kvadraturalarda integrallanadigan turlarini keltiramiz. 

4.Tо‘liq differensialli tenglama 

Berilgan 

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,   (x,y)



D  

 

 

 

(1) 

tenglamani odatda birinchi tartibli hosilaga nisbatan yechilgan oddiy differensial 

tenglamaning differensial shakli deb yuritiladi, chunki (14.4.1)ni 

)

,

(

)

,

(

y

x

Q

y

x

P

dx

dy





yoki  

)

,

(

)

,

(

y

x

P

y

x

Q

dy

dx





 

kо‘rinishda yozish mumkin. Bunda P(x,y) va Q(x,y) biror ikki о‘lchovli D sohada 

aniqlangan va uzluksiz funksiyalardir. 

 

1 -ta’rif. Agar (14.4.1) tenglamaning chap tomoni D sohada bioror U(x,y) 

funksiyaning  tо‘liq  differensialidan  iborat  bо‘lsa,  uni  tо‘liq  differensialli 

tenglama deyiladi. 

 

Agar D sohada differensiallanuvchi U(x,y) ikki о‘zgaruvchili funksiyaning 

tо‘liq differensiali aynan nolga teng bо‘lsa, uning ikkala xususiy hosilalari ham 

aynan  nolga  teng  bо‘lib,  bu  vaqtda  u  D  sohada  о‘zgarmas  bо‘lishi  ma’lum. 

Buning teskarisi, ya’ni 



(x,y)



D bо‘lganda  

U(x,y)=C 

 

 

 

(2)           

C–о‘zgarmas bо‘lsa, о‘zgarmasning tо‘liq differensiali nolga tengligi ravshandir. 

Shunday  qilib,    dU(x,y)=0  tо‘liq  differensialli  tenglamaga  ega  bо‘lsak,  uning 

umumiy yechimini (2) kо‘rinishda yozish mumkinligini kо‘rsatdik. Endi asosiy 

masala  (1)  qanday  shartda  tо‘liq  differensialli  bо‘lishini  aniqlash  va  u  tо‘liq 

differensialli bо‘lgan taqdir U(x,y) funksiyani topish ekanligi ayondir. 

1-teorema. Agar P(x,y), Q(x,y) funksiyalar va ularning 

x

Q

y

P









,

 xususiy 

hosilalari biror ikki о‘lchovli D sohada aniqlangan va uzluksiz bо‘lsa, u holda (1) 

tenglama tо‘liq differensialli bо‘lishi uchun 

D

y

x

x

y

x

Q

y

y

x

P















)

,

(

,

)

,

(

)

,

(

    

 

(3) 

ayniyatning о‘rinli bо‘lishi zarur va yetarlidir. 

1-misol. Ushbu 

0

2

4

2

2



















dy

x

y

dx

x

y

 differensial tenglama yechilsin. 

Yechish.  Bu  tenglama 

 





0

:

;





x

y

x

D

  sohada  olingan  har  bir  (x

0

;  y

0

) 

nuqtadan  о‘tuvchi  yagona  yechimga  ega.  Endi  (3)  munosabatni  tekshirib 

kо‘raylik. 

 

Berilgan tenglamani (1) bilan solishtirib, 

x

y

y

x

Q

x

y

y

x

P

2

)

,

(

,

4

)

,

(

2

2







 

ekanligini olamiz. 

Bundan, 

0



x

 degan faraz asosida 

2

2

2

)

,

(

;

2

)

,

(

x

y

x

y

x

Q

x

y

y

y

x

P

















. 

Demak,  (3)  munosabat  о‘rinlidir,  ya’ni  isbotlangan  teoremaga  kо‘ra  berilgan 

tenglama tо‘liq differensiallidir. Uning umumiy integralini (6.) formula bо‘yicha 

topamiz. Hisoblashlarni soddalshtirish uchun   x

0

=1,    y

0

=0  ((1,0)



D) bо‘lsin 

deylik, u holda  

























x

y

c

d

d

y

y

x

U

1

0

1

2

2

1

2

4

)

,

(









 

Bu munosabatda integrallash amalini bajarib, hamda c=c

1

+4 belgilashni kiritib, 

berilgan tenglamaning umumiy integralini topamiz: 

D

y

x

c

x

y

x







)

,

(

,

4

2

 

bu yerda c ixtiyoriy о‘zgarmasdir. 

5.  O’zgaruvchilari ajraladigan oddiy differensial tenglama 

 

Agar  (1)  oddiy  differensial  tenglamada  biror  ikki  о‘lchovli  D  sohada 

aniqlangan P va Q lar faqat bitta о‘zgaruvchining  

P=f(x),      Q=g(y) 

funksiyalaridan iborat bо‘lsa, u vaqtda (1) tenglamaning kо‘rinishi 

f(x)dx+g(y)dy=0   

 

 

(7) 

bо‘lib,  uni  о‘zgaruvchilari  ajralgan  oddiy  differensial  tenglama  deyiladi.  Bu 

tenglamada 

D

y

x

x

y

g

y

x

f















)

,

(

,

0

)

(

,

0

)

(

 

ekanligidan  (3)  munosabat  о‘rinlidir.  Shuning  uchun  (7)  tenglama  tо‘liq 

differensialli bо‘lib, uning umumiy integrali (14.4.6) formulaga asosan 

c

d

g

d

f

y

y

x

x









0

0

)

(

)

(









 

kо‘rinishda bо‘ladi. Bu holda oxirgini aniqmas integral vositasida  









c

dy

y

g

dx

x

f

)

(

)

(

 

 

 

 

(8) 

kо‘rinishda ham yozish mumkin. 

Agar  (4)  tenglamada 

 

     

   

y

f

x

f

y

x

Q

y

f

x

f

y

x

P

4

3

2

1

;

;

;









  bо‘lsa,  u 

vaqtda 

   

   

0

4

3

2

1









dy

y

f

x

f

dx

y

f

x

f

   

 

(9) 

kо‘rinishdagi  tenglamani  о‘zgaruvchilari  ajraladigan  oddiy  differensial 

tenglama  deyiladi  va  uni  (7)  kо‘rinishga,  ya’ni  о‘zgaruvchilari  ajralgan  holga 

keltirish mumkin. 

 

Haqiqatdan  ham,  (9)  tenglamaning  har  ikki  tomonini 

   

0

3

2





x

f

y

f

  deb 

faraz qilib, unga bо‘lsak, 

0

)

(

)

(

)

(

)

(

2

4

3

1





dy

y

f

y

f

dx

x

f

x

f

 

kо‘rinishdagi о‘zgaruvchilari ajralgan differensial tenglamani hosil qilamiz. Bu 

tenglamning umumiy integrali (8) formulaga kо‘ra 









c

dy

y

f

y

f

dx

x

f

x

f

)

(

)

(

)

(

)

(

2

4

3

1

 

dan  iboratdir.  (9)  ni  f

2

(y)  f

3

(x)  ga  bо‘lish  natijasida  f

2

(y)  va  f

3

(x)  funksiyalar 

ildizlariga mos y=y

0

 va x=x

0

 yechimlar yо‘qotilgan bо‘lishi mumkin.  Bu holni 

alohida tekshirib kо‘rishga tо‘g‘ri keladi. 

Xususiy holda  

)

(

)

(

2

1

y

f

x

f

dx

dy



 

kо‘rinishdagi tenglama ham о‘zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamadir. 

 

Haqiqatdan ham, berilgan tenglamani f

2

(y)



0 faraz asosida, 

dx

x

f

y

f

dy

)

(

)

(

1

2



 

yoki 

0

)

(

1

)

(

2

1





dy

y

f

dx

x

f

  kо‘rinishda  yozib,  uning  umumiy  integralini  (8) 

formulaga asosan topish mumkindir: 









c

dx

x

f

y

f

dy

)

(

)

(

1

2

 

bu yerda c ixtiyoriy о‘zgarmasdir. 

Berilgan  tenglamani  f

2

(y)  ga  bо‘lish  natijasida  agar  y

0

  f(y)  funksiyaning 

ildizidan iborat bо‘lsa, uning  y=y

0

    yechimi  yо‘qotilgan  bо‘lishi  mumkinligini 

aytamiz. 

2-misol.  Ushbu    x+yy



=0  differensial  tenglamaning  umumiy  yechimi 

topilsin. 

Yechish. Berilgan tenglamni 

dx

dy

y

x



=0 

kо‘rinishda  yozamiz.  Bu  tenglamaning  har  ikki  tomonini  dx  ga  kо‘paytirsak,  

xdx+ydy=0  о‘zgaruvchilari  ajralgan  differensial  tenglamaga  ega  bо‘lamiz  va 

unga (14.4.8) formulani qо‘llab, 















2

2

2

2

2

2

2

2

c

y

x

c

ydy

xdx

  yoki  

2

2

2

c

y

x





 

umumiy yechimga ega bо‘lamiz, bu yerda c ixtiyoriy о‘zgarmas bо‘lib c



0 deb 

faraz qilinadi. 

 

 

 

 

 

6. Birjinsli oddiy differensial tenglama 

 

Birjinsli  oddiy  differensial  tenglamani  о‘rganishga  kirishish  avvalida 

birjinsli  funksiya  haqidagi  ba’zi  bir  tushunchalarni  takrorlab  olishni  tavsiya 

qilamiz (13.21 –bandga qarang). 

Agar differensial tenglama 

)

(

y

x

dx

dy





 

 

 

 

 

(10) 

kо‘rinishga ega bо‘lsa, uni birjinsli oddiy differensial tenglama deyiladi. 

Bir xil darajali birjinsli P(x,y) va Q(x,y) funksiyalar qatnashgan 

P(x,y)dx+Q)x,y)dy=0 

 

 

 

(11) 

tenglama birjinsli oddiy differensial tenglamadan iboratdir. 

 

Haqiqatdan  ham,  berilgan  tenglamani 

dx

dy

  ga  nisbatan  yechilgan 

kо‘rinishga keltirsak,  

D

y

x

y

x

Q

y

x

Q

y

x

P

dx

dy









)

,

(

,

0

)

,

(

,

)

,

(

)

,

(

 

kо‘rinishni oladi. Bunda P(x,y) va Q(x,y) lar bir xil k–darajali birjinsli funksiyalar 

deb faraz qilsak, 

)

,

(

)

,

(

y

x

Q

y

x

P

 nisbat 

)

,

(

)

,

(

)

,

(

)

,

(

)

,

(

)

,

(

y

x

Q

y

x

P

y

x

Q

t

y

x

P

t

ty

tx

Q

ty

tx

P

k

k





 

uchun tenglik D sohada bajarilib, oxirgi tenglama birjinsli ekanligi kelib chiqadi, 

ya’ni  bu  holda 

x

t

1



  desak,  (11)  ni  (10)  kо‘rinishga  keltirish  mumkindir.  (10) 

tenglamaning yechimini topish uchun quyidagi almashtirishni bajaramiz: 

x

y

U



  

 

 

 

 

(12) 

Bundan 

dx

dU

x

U

dx

dy

Ux

y









 . 

Bu vaqtda (12) almashtirish natijasida (10) tenglama 

)

(U

f

dx

dU

x

U





 

 

 

 

 

(13) 

kо‘rinishga  keladi.  Bu  tenglama  о‘zgaruvchilari  ajraladigan  differensial 

tenglamadir. (13) tenglamadan f(U)-U



0 faraz asosida 

x

dx

U

U

f

dU





)

(

 

ni hosil qilamiz. Bu tenglamaning umumiy integrali: 









c

U

U

f

dU

x

ln

)

(

ln

. 

7. Birinchi tartibli chiziqli oddiy differensial tenglama 

 

Noma’lum funksiya va uning hosilasiga nisbatan chiziqli bо‘lgan 

)

(

)

(

x

Q

y

x

P

dx

dy





   

 

 

(14) 

kо‘rinishdagi tenglama birinchi tartibli chiziqli oddiy differensial tenglama deb 

ataladi. 

 

Bu  yerda  P(x)  va  Q(x)  funksiyalarni  biror  J  intervalda  aniqlangan  va 

uzluksiz deb faraz qilamiz. 

 

Agar tenglamaning о‘ng tomoni Q(x)



0 bо‘lsa, (14) tenglama 

0

)

(





y

x

P

dx

dy

 

 

 

 

(15) 

kо‘rinishni  oladi.  Bu  tenglamani  berilgan  (14.4.14)  tenglamaga  mos  birjinsli 

chiziqli oddiy differensial tenglama deyiladi. 

 

(15) о‘zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamadir, ya’ni uni 

y

dx

ga 

kо‘paytirib, 

dx

x

P

y

dy

)

(





  kо‘rinishga  keltirish  qiyin  emas.  Bu  oxirgi 

tenglamaning umumiy integrali 









c

dx

x

P

y

ln

)

(

ln

 yoki 







dx

x

P

ce

y

)

(

 

bо‘ladi. y ga bо‘lish natijasida y=0 yechimni yо‘qotdik. (16)da c



R deb olsak, 

c=0 ga mos keluvchi y=0 о‘sha yо‘qotilgan yechimni beradi. 

 

Birinchi  tartibli  chiziqli  (14)  tenglamani  yechishda  Bernulli  va  ixtiyoriy 

о‘zgarmasni variatsiyalash (Lagranj) usullari mavjuddir.