25-ma‘ruza. Mavzu: Oddiy differensial tenglamalar Reja

25-ma‘ruza. Mavzu: Oddiy differensial tenglamalar  

Reja: 

1.  Differensial tenglamaga olib keluvchi ba’zi bir masalalar 

2.  Birinchi tartibli differensial tenglamalar 

3.  Birinchi tartibli oddiy differensial tenglama uchun Koshi masalasining 

qо‘yilishi 

4.  Tо‘liq differensialli tenglama  

5.  O’zgaruvchilari ajraladigan oddiy differensial tenglama 

6.  Birjinsli oddiy differensial tenglama 

7.  Birinchi tartibli chiziqli oddiy differensial tenglamalar 

8.  Bernulli tenglamasi 

9.  Lagranj tenglamasi 

 

Adabiyotlar: 1,2,4,5,6,8,9,11,12,13,14,15. 

Tayanch  iboralar:  differensial  tenglamalar,  birinchi  tartibli  oddiy 

differensial tenglama, tо‘liq differensialli tenglama, o’zgaruvchilari ajraladigan 

oddiy differensial tenglama, birjinsli oddiy differensial tenglama, birinchi tartibli 

chiziqli oddiy differensial tenglamalar, Bernulli tenglamasi, Lagranj tenglamasi 

 

1. Differensial tenglamaga olib keluvchi ba’zi bir masalalar 

Differensial  tenglamalarga  olib  keladigan  masalalarning  kо‘pchiligi 

mexanika va geometriyaga oiddir. 

 

Ta’sir  etuvchi  kuchlar  ma’lum  bо‘lganda  moddiy  nuqtaning  harakat 

qonunini aniqlash nuqta dinamikasining klassik masalasi hisoblanadi. Bu holda, 

Nyutоnning ikkinchi qonuni differensial tenglamaga olib keladi. Ta’sir etuvchi 

kuchlarga  qarab,  har  xil  tipdagi  tenglamalar  hosil  bо‘ladi.  Shunga  о‘xshash 

masalalardan eng soddalarini kо‘raylik: 

1-masala. Massasi m bо‘lgan moddiy nuqta og‘irlik kuchi ta’sirida erkin 

tushmoqda. Nuqtaning harakat qonunini havoning qarshiligini hisobga olmasdan 

toping. 

 

Yechish.  Hisob boshi  O  tanlab  olingan  va  pastga  yо‘nalgan  vertikal о‘q 

olaylik.  Undagi  nuqtaning  M  vaziyati  t  vaqtga  bog‘liq  ravishda  о‘zgaradi  va 

OM=S  koordinata  bilan  aniqlanadi.  Moddiy  nuqtaga  ta’sir  etuvchi  kuch 

Nyutоnning 2-qonuni 

F=ma 

bilan aniqlanishi bizga ma’lum, bu yerda m – moddiy nuqta massasi, a  tezlanishi, 

F  esa unga ta’sir etuvchi kuch.  

 

Masala shartiga kо‘ra moddiy nuqtaga faqat og‘irlik kuchi P ta’sir etadi. 

Demak,  

F=P=mg 

bu yerda g–erkin tushish tezlanishi о‘zgarmas miqdor. a tezlanish S yо‘ldan t vaqt 

bо‘yicha olingan ikkinchi tartibli hosilaga teng bо‘lgani uchun 

g

dt

S

d

mg

dt

S

d

m







2

2

2

2

 

 

 

 

(1)  

ga ega bо‘lasiz. Bu oxirgi munosabat noma’lum  S=S(t) funksiyaning 2-tartibli 

hosilasi qatnashgan tenglamadir. 

Bizga malumki 

dt

dS

 =



 - moddiy nuqta tezligidan iboratdir. Buni hisobga 

olsak, (1) ni  

g

dt

d





 

kо‘rinishga keltirish mumkin. Oxirgi tenglamadan, о‘ng tomondagi g о‘zgarmas 

bо‘lganligi sababli, 



=gt+C

1 

 

 

 

 

(2) 

ekanligi kelib chiqadi, bu yerda C

1

 qandaydir о‘zgarmasdir. Demak,  

1

C

gt

dt

dS





 

bо‘lib, bundan S о‘ng tomondagi funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi ekanligi 

kelib chiqadi va  

2

1

2

2

1

C

t

C

gt

S







   

 

 

 

(3) 

ni  olamiz.  Bu  yerda  C

1

  va  C

2

  lar  qandaydir  о‘zgarmaslar  bо‘lib,  ular  moddiy 

nuqtaning boshlang‘ich holatiga bog‘liqdir. 

 

Demak, oxirgi tenglama moddiy nuqtaning izlanayotgan harakat qonunini 

beradi. Olingan (3) formulada hozircha noma’lum bо‘lgan ikkita  о‘zgarmaslar 

ishtirok  etmoqda,  biroq  nuqtaning  boshlang‘ich  vaziyatini  va  boshlang‘ich 

tezligini  bilgan  holda  bu  о‘zgarmaslarni  aniqlash  mumkin.  Aytaylik, 

boshlang‘ich  paytda  (t=0  da)  M

0

  moddiy  nuqtaning  tezligi 



0

  ga  uning  hisob 

boshidan masofasi S

0

 ga teng bо‘lsin deylik. 

dt

dS

 tezlik ni ifodalagani uchun (2) 

munsabatdan  C

1

=



0

  ni  (14.1.3)  dan  esa  C

2

=S

0

  ni  aniqlash  mumkin.  Natijada 

izlanayotgan  moddiy nuqtaning harakat qonuni  

 

 

 

 

 

0

2

2

1

S

t

gt

S

j









 

kо‘rinishni oladi. 

 

Shunday  qilib,  yuqorida  kо‘rilgan  masalani  yechish  jarayonida  tarkibida 

nama’lum  funksiyaning  qandaydir  tartibli  hosilasi  qatnashgan  tenglamalarga 

duch keldik. Bunday tenglamalarni differensial tenglamalar deyiladi.  

2. Birinchi tartibli differensial tenglamalar 

Tabiatda  va  texnikada  uchraydigan  kо‘plab  hodisa  yoki  jarayonlarni 

tavsiflovchi noma’lum  funknsiyalar va ularning hosilalarini  о‘zaro bog‘lovchi 

munosabatlar ma’lum bо‘lganda masala bu funksiyalarni topishga keltiriladi.  

2.1-  ta’rif.  Tarkibida  noma’lum  funksiyaning  ma’lum  tartibligicha 

hosilalari  (yoki  differensiallari)  qatnashgan  tenglamaga  differensial  tenglama 

deyiladi.  

Agar  noma’lum  funksiya  bir  argumentli  bо‘lsa,  tegishli  differensial 

tenglamani  oddiy  differensial    tenglama,  kо‘p  argumentli  bо‘lganda  xususiy 

hosilali differensial tenglama deyiladi.  

2.2-ta’rif.  Differensial  tenglamaning  tartibi  deb,  uning  tarkibiga  kirgan 

noma’lum funksiya hosilasining (differensialining) eng yuqori tartibiga aytiladi. 

Oldingi bandda kо‘rilgan 1-masala ikkinchi tartibli, 3-masala esa birinchi 

tartibli oddiy differensial tenglamalardan iboratdir. U yerda kо‘rilgan 2-masala 

ham  aslida  ikkinchi  tartibli  oddiy  differensial  tenglama  bо‘lib,  uni  yechish 

jarayoni  ketma-ket  ikkita  birinchi  tartibli    oddiy  differensial  tenglamalarni 

yechish orqali amalga oshirildi. 

Bu  bobda  asosan  birinchi  tartibli    oddiy  differensial  tenglama  ustida  ish 

olib boramiz. 

Birinchi  tartibli  oddiy  differensial  tenglamaning  umumiy  kо‘rinishi 

quyidagicha yozish mumkin: 

F(x,y,y



)=0.   

 

 

 

 (1) 

Bu yerda x erkli о‘zgaruvchi, y noma’lum funksiya, 

dx

dy

y





 uning hosilasi, 

F esa uch о‘zgaruvchining berilgan funksiyasi. Agar (1) tenglamani y



 ga nisbatan 

yechish mumkin bо‘lsa, u holda quyidagiga ega bо‘lamiz: 

)

,

(

y

x

f

dx

dy



,   

 

 

 

(2.) 

bu tenglamani  

f(x,y)dx-dy=0 

kо‘rinishda yozish mumkin. 

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 

shaklda  yozilgan  tenglama  ham  birinchi  tartibli  differensial  tenglamadir.  Bu 

bandda  (14.2.2)  kо‘rinishdagi  tenglamani  tekshirish  bilan  kifoyalanamiz. 

Differensial tenglamaning yechimini ta’riflashdan avval ba’zi bir  belgilashlarni 

kelishib olaylik: 

J  biror  interval;  D  Oxy  koordinatalar  tekisligidagi  nuqtalarning  biror 

tо‘plami;  G  uch  о‘lchovli  Dekart  koordinatalar  sistemasidagi  (ya’ni  fazodagi) 

nuqtalarning biror tо‘plami bо‘lsin. 

Aytaylik,  F(x,y,z



)  funksiya  G  tо‘plamda,  f(x,y)    funksiya  D  tо‘plamda 

aniqlangan bо‘lsin. 

2.3-ta’rif.  Agar  y=



(x)  funksiya  J  oraliqda  aniqlangan  va  differensiallanuvchi 

bо‘lib, 



J



 (x; 



(x)) 



D  va 

))

(

;

(

)

(

x

x

f

dx

x

d







 о‘rinli bо‘lsa, bu funksiya (2) 

differensial tenglamaning yechimi (yoki integrali) deyiladi. 

y=



(x) ning grafigi differensial tenglamaning integral egi chizig‘i deyiladi. 

2.4-ta’rif. Agar ixtiyoriy c parametrga bog‘liq bо‘lgan va J oraliqda aniqlangan 

y=



(x,c) funksiya c ning biror sohaga tegishli har bir tayinlangan  qiymatida (2) 

differensial  tenglamani  qanoatlantirsa,  uni    shu  differensial  tenglamaning 

umumiy yechimi yoki umumiy integrali deyiladi. 

 

Ba’zi hollarda differensial tenglamaning umumiy  yechimini  



(x,y,c)=0 

oshkormas  kо‘rinishda  ham  ifodalanadi.  Differensial  tenglamaning  umumiy 

yechimidagi c ning qabul qilishi mumkin bо‘lgan har bir tayinlangan qiymatiga 

mos keluvchi yechim uning xususiy yechimi deyiladi. 

2.5.-ta’rif.  Berilgan  (2)  differensial  tenglamaning  y=



(x,c)  umumiy 

yechimidan  c  о‘zgarmasning  hech  qanday  qiymatida  ham  hosil  qilib 

bо‘lmaydigan yechimi mavjud bо‘lsa, uni maxsus yechim deb ataladi. 

 

Differensial  tenglamaning  barcha  yechimlarini  topish  jarayoni  uni 

integrallash deb yuritiladi. 

 

1-misol.    

2

4

1

y

y

x

y









 Differensial tenglamani qaraylik. 

Agar C ixtiyoriy о‘zgsharmas son bо‘lsa,  

2

4

1

c

cx

y





   

 

 

 

(3) 

funksiya berilgan tenglama uchun umumuiy yechim bо‘ladi. Haqiqatdan ham (3) 

dan y



 ni topib, berilgan tenglamaga qо‘yib, 

2

2

4

1

4

1

c

cx

c

cx







 

ayniyatga  ega  bо‘lamiz.  c=2  bо‘lganda  (3)  umumiy  yechimdan  y=2x-1  bitta 

xusuiy yechimni hosil qilamiz. 

 

y=x

2

  funksiya  ham  berilgan  tenglamani  ayniyatga  aylantiradi,  lekin  bu 

funksiya maxsus yechimdir. Chunki bu yechimni c ning hech qanday qiymatida 

(3)  dan  hosil  qilib  bо‘lmaydi.  1.-rasmda  berilgan  differensial  tengnlamaning 

xususiy va maxsus yechimlariga mos keluvchi integral chiziqlar tasvirlangan. 

 

1-rasm. 

 

 

 

 

 

2-rasm. 

Kezi kelganda, maxsus yechimga mos keluvchi integral egri chiziqning har 

bir nuqtasi orqali shu maxsus yechim integral egri chiziqlidan boshqa uning  yana 

birorta  xususiy  yechimiga  mos  integral  egri  chiziqli  ham  о‘tishini  aytamiz. 

Aksariyat hollarda, agar oddiy differensial tenglamaning maxsus yechimi mavjud 

bо‘lsa, uning xususiy yechimiga mos chiziq biror nuqtada maxsus yechimga mos 



 



 



 



 

О 

-1 

1 

x 

y 

y=x

2

 

y=2x-1 

О 

x 

y 

y=



1

(x) 

y=



2

(x) 

chiziqqa  urinadi.  Shu  sababli  maxsus  yechimga  mos  chiziqni  xususiy 

yechimlarga mos chiziqlar  oilasining о‘ramasi deyiladi. 

Yuqorida  keltirilgan  misolda  berilgan  tenglamaning  umumiy  integral 

chiziqlari  bо‘lgan  (3)  tenglama  bilan  aniqlangan  tо‘g‘ri  chiziqlarning  barchasi 

maxsus yechimga mos keluvchi  y=x

2

  parabolaga tegishli biror nuqtada urinadi 

(1-rasmga qarang). 

(2)  differensial  tenglama  berilgan  bо‘lib,  y=



(x)  uning  yechimi  bо‘lsin. 

Tо‘g‘ri  burchakli  Dekart  koordinatalar  sistemasi  kiritilgan  tekislikda  y=



(x) 

chiziqning har bir (x,y) nuqtasiga о‘tkazilgan urinmaning burchak kоeffitsienti k 

uchun    k=f(x,y),    (x,  y)



D  bо‘lishi  ravshan.  Egri  chiziqning  biror  nuqtasidagi 

yо‘nalishi  deb  shu  nuqtadagi  urinmasining  burchak  kоeffitsientini  qabul 

qiliniladi. Shunday qilib,  y=



(x) yechimni topish quyidagi geometrik masalani 

yechish bilan ekvivalentdir. 

Qandaydir  D  sohaning  har  bir  nuqtasiga  о‘tkazilgan  yо‘nalish  berilgan 

bо‘lib, shu yо‘nalishlarga mos keluvchi egri chiziqni topish talab qilinadi. 

Agar  f(x,y)  funksiya  D  sohada  uzluksiz  bо‘lsa,  u  holda  bu  yо‘nalishlar 

qо‘yilgan  masalaning  yechimidan  iborat  bо‘lgan  y=



(x)  chiziqdan  olingan 

nuqtalar  bо‘yicha  uzluksiz  о‘zgarib  boradi  va  chiziqning  burchak  kоeffitsienti 

k=f(x,



(x)) munosabatni qanoatlantiradi. 

Shunday  qilib,  (2)  differensial  tenglama  D  sohada  yо‘nalishlar  tо‘plami 

yoki,  boshqacha  qilib  aytganda,  yо‘nalishlar  maydonini  aniqlanadi.  Agar 

sohaning  har  bir  nuqtasidagi  yо‘nalishni  bu  nuqtadan  chiquvchi  kichik  

kо‘rsatkich  bilan  belgilasak,  (2)  differensial  tenglamaning  yо‘nalishlar 

maydonini  tasvirlash  mumkin  (3-rasm).  Demak,  (2.)  differensial  tenglamani 

integrallash masalasi geometrik jihatdan о‘zining har bir nuqtasida yо‘nalishlar 

maydoni  beradigan  yо‘nalishga  urinadigan  egri  chiziqni  topishdan  iboratdir. 

Oddiy  differensial  tenglamani  integrallash  masalasi,  geometrik  ma’noda, 

tekislikdagi berilgan yо‘nalishlar maydoni bо‘yicha integral egri chiziqni izlash 

masalasi bilan aynan bir xildir. 

Differensial  tenglamaning  umumiy  yechimi  chekli  sondagi  integrallar  yoki 

elementar  funksiyalar  orqali  ifodalash  mumkin  bо‘lsa,  uni  kvadraturalarda 

integrallanuvchi yoxud chekli kо‘rinishda integrallanuvchi deb yuritiladi. 

 

Agar  differensial  tenglamaning  umumiy  yechimini  elementar  funksiya 

orqali ifodalash mumkin bо‘lsa, uni elementar funksiyalarda integrallanadigan 

deyiladi. 

 

Differensial    tenglamalar  nazariyasining  asosiy  masalasi  berilgan 

tenglamaning  barcha  yechimlarini  topish  va  bu  yechimlarning  xususiyatlarini 

о‘rganishdan iboratdir. 

3. Birinchi tartibli oddiy differensial tenglama uchun 

Koshi masalasining qо‘yilishi 

 

Aytaylik, 

)

,

(

y

x

f

dx

dy



   

 

 

(1) 

tenglamaning о‘ng tomoni f(x,y) funksiya biror ikki о‘lchovli D bog‘liq sohada 

aniqlangan va uzluksiz bо‘lsin. 

 

Bu  yerda  x

0

  nuqtani  о‘z  ichiga  oladigan,  Ox  о‘qda  joylashgan  biror  J 

intervalda aniqlangan, uzluksiz differensiallanuvchi hamda ushbu 

a) x



I;   (x;



(x)) 



D; 

b) 



(x)



f[x;



(x)];  

c) u

0

=



(x

0

), (x

0

, u

0

)



D. 

shartlarni  qanoatlantiruvchi  y=



(x)  funksiyani  topish  masalasini  qо‘yamiz.  Bu 

masala qisqacha. 

















)

3

(

)

2

(

),

,

(

0

0

y

y

y

x

f

dy

dx

x

x

 

kabi  yoziladi  va  Koshi  masalasi  (yoki  boshlang‘ich  masala)  deb  ataladi. 

Yuqoridagi  a),b),  c)  shartlarni  qanoatlantiradigan 

 

x

y





  funksiya  Koshi 

maslalasining yechimi deyiladi. 

 

Bu masala geometrik nuqtai nazardan quyidagicha talqin etiladi: 

Koshi  maslalasining  yechimini  topish,  (14.3.1)  tenglamaning  (x

0

,  y

0

)



D 

nuqtadan  о‘tadigan  integral  egri  chizig‘ini  topishdan  iboratdir.  Bunday  egri 

chiziq  mavjud  bо‘lmasligi,  agar  mavjud  bо‘lsa,  u  yagona  va  bir  nechta  xatto 

cheksiz kо‘p bо‘lishi ham mumkin. Buni misollarda kо‘rsatamiz: 

1-misol. 

 

















1

)

2

ln

(

,

y

e

dx

dy

x

Koshi masalasini kо‘raylik. Berilgan tenglama 

uchun  umumiy  yechim  formulasi 

c

e

y

x





  (1  -rasm)  ma’lum,  shuning  uchun 

boshlang‘ich shartdan foydalanib, c ning mos qiymatini topamiz: 

2

3

,

1

2

ln













c

c

e

 

demak, yuqorida qо‘yilgan Koshi masalasining yechimini beradigan integral egri 

chiziq tenglamasi 

2

3





x

e

y

 ekan. 

 

Faraz  qilaylik,  F(x,y,c)  uch  о‘zgaruvchili  funksiya  (x,y) 



D

2



R

2

  ikki 

о‘lchovli  soha  va  c



C

0

  oraliq  tо‘g‘ri  Dekart  kо‘paytmasidan  iborat  bо‘lgan 

G=D

2



C

0

={(x,y,c):(  x,y) 



D

2

,  c



C

0

}  uch  о‘lchovli  sohada  aniqlangan  va 

uzluksiz differensialanuvchi funksiya bо‘lsin. 

 

U holda  

F(x,y,c)=0   

 

 

 

 (4) 

tenglama  c  ning  har  bir  tayinlangan  c



C

0

  qiymatida  koordinatalar  tekisligida 

qandaydir  chiziqni  aniqlashi  ma’lumdir.  c  parametrning  C

0

  sohaga  tegishli  

qiymatlarida  (14.3.4)  tenglama  koordinatalar  tekisligida  turli  chiziqlarni 

tasvirlashi  ravshandir.  Umuman  olganda  c



C

0

  sohadan  olingan  qiymatlar 

bо‘yicha egri chiziqlarning qandaydir tо‘plamiga ega bо‘lamiz. Bu tо‘plam (4) 

tenglama vositasida c parametr bо‘yicha olingan chiziqlar oilasi deb yuritiladi. 

 

Yuqorida  

y



=f(x,y)  

 

 

 

 

(5) 

birinchi  tartibli  differensial  tenglamaning  umumiy  yechimi  bitta  c  ixtiyoriy 

о‘zgarmasga bog‘liq bо‘lishi va uning qabul qilishi mumkin bо‘lgan har bir tayin 

qiymatiga  (5)  kо‘rinishda  ifodalangan  deb  faraz  qilish  mumkin.  Demak,  (5) 

differensial tenglamani yechish, geometrik nuqtai nazarda, tenglamasi shu (5)ni 

qanoatlantiradigan chiziqlar oilasini topishdan iborat ekan. 

 

Endi teskari masalani, ya’ni (4) tenglama vositasida C parametrga bog‘liq 

bо‘lgan  chiziqlar  oilasi    berilgan  bо‘lsa,  unga  mos    keluvchi  (5)  differensial 

tenglamani topishni kо‘raylik. Buning uchun (4) da c ning qiymati tayinlangan 

va  undan  y  о‘zgaruvchi  x  ning  funksiyasi  sifatida  aniqlanib,  yana  о‘rniga 

qо‘yilgan  deb  faraz  qilinsa  (buning  uchun  F(x,y,c)  funksiya  oshkormas 

funksiyaning mavjudligi shartlarini qanoatlantirishi talab qilinadi. 13.18- bandga 

qarang),bu tenglama ayniyatdan iborat bо‘lib qoladi va uni differensiallab, 

0















y

y

ф

x

ф

 

 

 

 

(6) 

ni olamiz. Endi (4) ni c parametrga nisbatan yechib olingan ifodani (6) ga qо‘yib, 

undagi c parametrni yо‘qotib, (5) kо‘rinishni olish mumkin. 

 

Masalan,  y=c



x

2

  chiziqlar  oilasini  qarasak,  ular  3-rasmda  ifodalangan 

parabolalardan iboratdir. 

 

3 –rasm. 

 

c tayinlangan deb faraz qilib, bu tenglamani differensiallab,  

y



=2cx 

ni olamiz. Berilgan tenglamadan 

2

x

y

c



 (x



0) ni olib uni oxirgiga qо‘ysak, 

x

y

y

2





 

 

 

 

(7) 

differensial  tenglamaga  ega  bо‘lamiz.  Olingan  (7) 

2

cx

y



  chiziqlar  oilasining 

differensial tenglamasidir. 

 

Endi quyidagi geometrik masalani qaraylik. Agar (5) differensial tenglama 

vositasida  qandaydir  chiziqlar  oilasi  berilgan  bо‘lsa,  bu  oilaga  tegishli  har  bir 

chiziqni berilgan 



 burchak ostida kesib о‘tuvchi chiziqlarni (chiziqlar oilasini) 



 

О 

x 

y 

topish masalasini qaraylik. Bunday chiziqlar oilasi mavjud bо‘lsa, ularni berilgan 

chiziqlar oilasiga izogonal chiziqlar (traektoriyalar) deb ataladi. 

 

Ma’lumki  ikkita  chiziq  orasidagi  burchak  sifatida  ularning  har  biriga 

kesishishi  nuqtasida  о‘tkazilgan  urinmalar  orasidagi  burchak  qabul  qilinadi. 

Berilgan  oilaga  tegishli  chiziq  urinmasining  burchak  kоeffitsienti  y



  ekanligini 

bilamiz,  agar  izlanayotgan  chiziq  tenglamasini  Y=



(x)  deb  faraz  qilsak,  uning 

burchak  kоeffitsienti  Y



  dan  iboratdir.  Urinmalar  orasidagi  burchak 



,  bu 

urinmalarning Ox о‘qi bilan hosil qilgan burchaklarning ayirmasiga tengligidan 

y

Y

Y

y

k

tg



















1



 

bundan 

y

k

k

y

Y













1

  (14.3.5)  ni  e’tiborga  olsak,  izlanayotgan  izogonal  chiziqlar 

uchun   

)

,

(

1

)

,

(

y

x

kf

k

y

x

f

y









    differensial  tenglamani  olamiz.  Bu  yerda  k=tg



  bо‘lib,  

0<



<

2



 deb faraz qilinadi.  

 

 

Agar 

2







  bо‘lsa,  chiziqlar  orasidagi  burchak  tо‘g‘ri  bо‘lib,  ular 

ortogonal chiziqlar (traektoriyalar) deb yuritiladi va bu holda Y



=-

y



1

 bо‘lishini 

e’toborga olsak, izlanayotgan ortogonal chiziqlar (troektoriyalar) tenglamasi 

)

,

(

1

Y

x

f

Y







  

 

 

(8) 

dan iborat bо‘ladi. 

 

Masalan,  (7)  differensial  tenglama  bilan  aniqlangan  chiziqlar  oilasiga 

ortogonal  bо‘lgan  chiziqlar  (traektoriyalar)ni  topaylik.  Buning  uchun  (8) 

tenglamani (7) ni e’tiborga olgan holda yozamiz: 

y

x

y

2







 

Buni yechib,  

1

2

2

2

c

y

x





 

ni olamiz, bu yerda c

1

 ixtiyoriy musbat о‘zgarmas sondir. 

Demak,  y=cx

2

  parabolalar  oilasiga 

1

2

2

2

c

y

x





  ellipslar  oilasi  ortogonal 

troektoriyalarni  tashkil  qilar  ekan,  bu  yerda 

R

c



  va 





R

c

1

  bir-biriga  bog‘liq 

bо‘lmagan ixtiyoriy о‘zgarmasdir (3-rasm). 

 

Endi,  (2)  Koshi  masalasi  yechimini  mavjudligi  va  yagonaligi  masalasini 

qarayamiz.