27. Differensial tenglamalar sistemalari. Differensial tenglamalar sistemasini normal ko’rinishga keltirish

27. Differensial tenglamalar sistemalari. Differensial tenglamalar sistemasini normal
ko’rinishga keltirish
Oddiy differensial tenglamalar sistemasi deb, argumentni, argumentning sondagi noma’lum funksiyalarini va ularning hosilalarini bog‘lovchi sondagi tenglamalarning yig‘indisiga aytiladi. Sistemaning umumiy ko‘rinishi quyidagicha yoziladi:
. (1)
(1) sistemaning tortibi ga teng. (1) sistemaning har bir tenglamasini ayniyatga aylandiradigan funksiyalar sistemasi (1) sistemaning yechimi deyiladi.
Agar oniqmas funksiyalar haqidagi teorema shartlari o‘rinli bo‘lsa, u holda (1) sistemani yuqori hosilalarga nisbatan yechishga bo‘ladi:
(2)
Bunday sistema (2) sistemaning kanonik sistemasi deyiladi.
Misol. Differensial tenglamalarning

sistemasini kanonik shaklga olib keling.
Yechish. Berilgan sistemaning tortibi 3 ga teng, sababi bo‘lishi sababli Sistemadagi birinchi tenglamani ga nisbatan, ikkinchisini nisbatan yechib, qo‘yidagi kanonik sistemaga ega bo‘lamiz

Yangi noma’lum funksiyalarni kiritish yordamida sondagi (2) sistemani unga ekvivalent bo‘lgan va barcha , funksiyalarning hosilalariga nisbatan yechilgan birinchi tortibli tenglamalar sistemasi bilan almashtirish mumkin:
(3)
(3) ko‘rinishtagi sistema normal sistemasi deyiladi va sistemadagi tenglamalar soni, yani soni sistemaning tartibi deyiladi. (3) sistemani qisqa

ko‘rinishda yozib bo‘ladi, bu yerda - ba’zi sohada aniqlangan va uzluksiz funksiyalar.
28. Chiziqli differensial tenglamalar sistemalari . Mavjudlik va yagonalik teoremasi. Agar normal sistema noma’lum funksiyalarga hamda uning hosilalariga nisbatan chiziqli bo’lsa, ya’ni sistemaning har bir tenglamasida hosila birinchi darajada qatnashsa , unda bunday sistema chiziqli differensial tenglamalar sistemasi deb ataladi.
Izoh. Differensial tenglamalar sistemasining
(1)
ko’rinishi birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar sistemasi deb ataladi. Agar bo’lsа, unda sistemа chiziqli bir jinsli, aks holda (1) ko’rinishidagi sistema chiziqli bir jinsli emas differensial tenglama deb ataladi.
(1) sistemani quyidagicha yozish mumkin:
(2)
Teorema (chiziqli sistema yechimning mavjudligi va yagonaligi). Agar koeffitsientlari va funksiyalar integralida uzluksiz bo’lsin.Unda (2) tenglama (yoki (1) sistema)

boshlang’ich shartni qanoatlandiradigan

ko’rinishidagi yagona yechimga ega bo’ladi , bu yerda lar ixtiyoriy turda berilishi mumkin. Ayrim holatlarda bir jinsli sistemaning boshlang’ish shartni qanoatlantiruvchi yechimi nollik yechim bo’ladi.


_29. Сhiziqli differensial tenglamalar sistemasining yechimlarining
_fundamental sistemasi

Bir jinsli

(1)
chiziqli differensial tenglamalar sistemasining chiziqli bog’liqsiz sondagi ayrim yechimlar _{sistemasi ushbu sistemaning yechimlarining fundamental sistemasi deb ataladi}.