27. Differensial tenglamalar sistemalari. Differensial tenglamalar sistemasini normal ko’rinishga keltirish

Misol. sistemasini yeching .
Yechilishi. Xarakteristik tenglamasi Yoki bo’lib , uning ildizlari . Bu holatda yechimni ko’rinishida izlaymiz. Noma’lum koeffitsientlarni aniqlash uchun bu yechimni berilgan sistemaga qo’yamiz va qa qisqartirib, x ning bir xil darajalari oldidagi koeffitsientlarni taqqoslasak , bo’ladi. Bularni yechimdagi o’rinlariga olib borib qo’ysak,

ko’rinishidagi umumiy yechimga ega bo’lamiz.
34. Chiziqli bir jinsli bo’lmagan tenglamalar sistemasi. Erkli
o’zgarmaslarni variatsiyalash usuli
Bu usulni uch bir jinsli emas chiziqli differensial tenglamalar sistemasi uchun keltiramiz. Mayli bizga quyidagi sistema berilgan bo’lsin

Мayli bu sistemaning bir jinsli bo’lagining umumiy yechimi topilgan bo’lsin

U holda erkli o’zgarmasni variantsiyalash usuliga muvofiq br jinsli emas sistemaning yagona yechimini quyidagicha izlaymiz

Bu yerda lar hozircha noma’lum funksiyalar . Bu funksiyalarni aniqlash uchun so’ngi funksiyani berilgan sistemaga qo’yamiz


qavs ichidagi barcha yig’indilar nolga teng (sababi ular bir jinsli sistemaning yechimi).U holda
.
shunday ko’rinishda berilgan sistemaning ikkinchi va uchinchi tenglamalaridan


tengliklariga ega bo’lamiz. So’ngi uch tenglamani sistemaga olib

buni larga nisbatan yechishga bo’ladi , sababi bir jinsli sistemaning ayrim yechimlari chiziqli bog’liqli

so’ngi sistemadan topilgan larni integrallab larni topamiz, topilgan bu yechim berilgan bir jinsli emas sistemaning yagona yechimi bo’lib hisoblanadi. Keyin ularni

dagi o’rinlariga qo’yib berilgan bir jinsli emas sistemaning umumiy yechimiga ega bo’lamiz .
34. Chiziqli bir jinsli bo’lmagan tenglamalar sistemasi. Noma’lum koeffitsientlar usuli. Bunday sistemalarning umumiy ko’rinishi
(1)
ko’rinishga ega bo’lib , erkli o’zgarmaslarni variatsiyalash usuli yordamida bunday sistemalarni hamma vaqt integrallash mumkin. Lekin ba’zi holatlarda , masalan funksiyalarining ayrim

ko’rinishlariga ega bo’lgan holatlarida bu sistemani noma’lum koeffitsientlar usuli yordamida yechish mumkin, bunda va lar darajasi mos va ga teng bo’lgan ko’phadlar. Noma’lum koeffitsientlar usuli yordamida bir jinsli emas sistemaning yagona yechimi

ko’rinishda izlanadi, bu yerda lar darajasi ga teng bo’lgan noma’lum koeffitsientlar ko’phadlar , u holda soni berilgan sistemaga mos keluvchi bir jinsli bo’lgan sistemaning xarakteristik tenglamasining ildizlari orasida ildizining karrali soni. Agar soni bu xarakteristik tenglamaning ildizi bo’lmasa , u holda bo’ladi. Izlangan yagona yechimni berilgan sistemaga qo’yib, noma’lum koeffitsientlar aniqlanadi.
Мisol. Bir jinsli emas сhiziqli sistemasini noma’lum koeffitsientlar usuli yordamida yeching.