3-amaliu mashg’ulot. Mavzu: To’la ehtimollik va Bayes formulasiga doir misollar yechish. Reja

3-amaliu mashg’ulot.
Mavzu:To’la ehtimollik va Bayes formulasiga doir misollar yechish.
Reja

1. 
   Ehtimolliklarni qo’shish teoremalari.
   
2. 
   Ehtimolliklarni ko’paytirish teoremalari.
   
3. 
   To’la ehtimollik formulasi.
   
4. 
   Bayes formulasi.
   

A va B hodisalar birgalikda bo’lmasin hamda ularning eh-timolliklari berilgan bo’lsin. Yo A, yo B hodisaning ro’y berishi, ya’ni bu hodisalarning yig’indisi A+B ning ehtimolligini qan-day topish mumkin? Bunga quyidagi teorema javob beradi.
3.1-teorema (birgalikda bo’lmagan hodisalarning ehti-molliklarini qo’shish). Ikkita birgalikda bo’lmagan hodisa-lar yig’indisining ehtimolligi bu hodisalar ehtimolliklari-ning yig’indisiga teng:
. (3.1)
Isbot. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:
— elementar hodisalarning umumiy soni;
— A hodisaning ro’y berishiga qulaylik tug’diruvchi ele-mentar hodisalar soni;
— V hodisaning ro’y berishiga qulaylik tug’diruvchi ele-mentar hodisalar soni.
Yo A, yo B hodisaning ro’y berishiga qulaylik tug’diruvchi ele-mentar hodisalar soni ga teng. SHuning uchun

bo’ladi.
va ekanligini e’tiborga olib,

ni olamiz.
3.1-natija. Bir nechta birgalikda bo’lmagan hodisalar yi-g’indisining ehtimolligi bu hodisalar ehtimolliklarining yi-g’indisiga teng:
. (3.2)
1-misol. Qutida 30 ta shar bor, ulardan 10 tasi qizil, 5 tasi ko’k va 15 tasi oq. Rangli shar chiqishining ehtimolligi topilsin.
Yechish. Rangli sharning chiqishi yo qizil, yo ko’k sharning chi-qishini bildiradi.
Qizil shar chiqishi (A hodisa)ning ehtimolligi ga teng. Ko’k shar chiqishi (B hodisa)ning ehtimolligi esa ga teng.
A va V hodisalar birgalikda bo’lmagan hodisalardir (biror rangdagi sharning chiqishi boshqa rangdagi sharning chiqishini istisno qiladi), shuning uchun qidirilayotgan ehtimollik
bo’ladi.

Qarama-qarshi hodisalar birgalikda muqarrar hodisani tashkil etgani uchun 3.1-teoremadan

ekanligi kelib chiqadi, shu sababli
. (3.3)
2-misol. Kun davomida yog’ingarchilik bo’lishining ehtimolligi ga teng. Kun ochiq bo’lishining ehtimolligi topilsin.
Yechish. «Kun davomida yog’ingarchilik bo’ladi» va «Kun ochiq» hodisalari qarama-qarshi hodisalardir, shuning uchun qidirilayotgan ehtimollik ga teng.

(2.1) formuladan quyidagi teoremani olamiz.