3-amaliu mashg’ulot. Mavzu: To’la ehtimollik va Bayes formulasiga doir misollar yechish. Reja

3.4-teorema (birgalikda bo’lgan hodisalarning ehtimol-liklarini qo’shish). Ikkita birgalikda bo’lgan hodisalar yig’indisining ehtimolligi bu hodisalar ehtimolliklarining yig’indisidan ularning ko’paytmasi ehtimolligining ayirmasiga teng:
. (3.6)
5-misol. Birinchi va ikkinchi zambarakdan o’q uzishda ni-shonga tegish ehtimolliklari mos ravishda va ga teng. Ikkala zambarakdan bir vaqtning o’zida o’q uzishda hech bo’lmaganda bitta zambarakning o’qi nishonga tegishi ehtimolligi topilsin.
Yechish. Har bir zambarakdan nishonga tegish ehtimolligi boshqa zambarakdan o’q uzish natijasiga bog’liq emas, shuning uchun A hodisa (birinchi zambarakdan nishonga tegish) va B hodisa (ikkinchi zambarakdan nishonga tegish) bog’liqmas.
SHu sababli AB hodisa (ikkala zambarakdan nishonga te-gish)ning ehtimolligi ga teng. U holda qidirilayotgan ehtimollik
ga teng.

Agar b o g’ l i q m a s hodisalar birgalikda muqarrar hodisani tashkil etsa, u holda shu hodisalardan hech bo’lmaganda bittasining ro’y berish ehtimolligini quyidagi formula bo’yicha topish mumkin

(3.7)
6-misol. Bosmaxonada 4 ta dastgoh bor. Har bir dastgohning ayni shu paytda ishlashining ehtimolligi 0,9 ga teng. Ayni shu paytda hech bo’lmaganda bitta dastgoh ishlashi (A hodisa)ning ehtimolligi topilsin.
Yechish. Ayni shu paytda dastgoh ishlamasligining ehtimol-ligi ga teng. U holda qidirilayotgan ehti-mollik ga teng.

(3.4) formulaga asosan ( hodisalar bog’liq bo’lishi ham mumkin) oxirgi ifodaning o’ng tomonidagi har bir qo’shiluvchini ko’paytma bilan almashti-rib,

(3.8)
to’la ehtimollik formulasini olamiz.
7-misol. Detallarning 2 ta to’plami bor. 1-to’plamdan ta-vakkaliga olingan detalь standart bo’lishining ehtimolligi 0,8 ga, ikkinchisidan olinganniki esa 0,9 ga teng. Tavakkaliga olin-gan to’plamdan tavakkaliga olingan detalning standart bo’lishi ehtimollligi topilsin.
Echish. A orqali «olingan detalь standart» hodisasini bel-gilaylik. Detalь yo 1-to’plamdan olinishi mumkin ( hodisa), yo 2-to’plamdan ( hodisa).
Detalь 1-to’plamdan olinishining ehtimolligi ga, 2-to’plamdan olinishining ehtimolligi esa ga teng bo’ladi.
Misol shartiga asosan va bo’ladi. U holda qidirilayotgan ehtimollik to’la ehtimollik formulasiga asosan topiladi va quyidagiga teng
.

To’la ehtimollik formulasini keltirib chiqarishdagi ho-disalar uchun A hodisa ro’y bergan bo’lsin va gipotezalarning ( ) shartli ehtimolliklarini topish masalasi qo’yilgan bo’lsin.

(2.1) formuladan ga ega bo’lamiz.
So’ngra, (3.4) formuladan quyidagini olamiz
.
To’la ehtimollik formulasini qo’llab, bu yerdan va bundan avvalgi munosabatdan
(3.9)
Bayes formulasini keltirib chiqaramiz.